Биноминальный закон распределение

Биномиальное распределение. Задачи

Целочисленная случайная величина X имеет биномиальное распределение , если вероятность ее возможных значений вычисляется по формуле Бернулли

В табличной форме этот закон имеет следующий вид:

При проверке выполнения условия нормировки используется формула бинома Ньютона , поэтому закон распределения называют биномиальным

Построим вероятностную образующую функцию для этого закона

Итак, вероятностная образующая функция для биномиального закона ровна

Найдем основные числовые характеристики для этого закона

1. Математическое ожидание случайной величины через образующую функцию для биномиального распределения вычисляем по формуле


2. Вторая производная от образующей функции для биномиального распределения в единице примет значение

На основе найденного значения можно вычислять дисперсию

Имея дисперсию нетрудно установить среднее математическое отклонение

3. Коэффициент асимметрии А(Х) и эксцесс Е(Х) для биномиального распределения определяют по формулам

В случае роста количества испытаний n асимметрия и эксцесс стремятся к нулю.

Перейдем к практической стороне биномиального распределения

Задача 1. В партии однотипных деталей стандартные составляют 97% . Наугад из партии берут 400 деталей. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение М(Х), D(X) , S(Х) для дискретной случайной величины Х — появления числа стандартных деталей среди 400 наугад взятых.

Решение. Целочисленных случайная величина Х имеет биномиальное закон распределения вероятностей, которая может принимать значения Х = k = 0, 1, 2, . 400. Вероятности возможных значений для данной задачи определяются по формуле Бернулли и составляют где р = 0,97 — вероятность появления стандартной детали, q = 1 – p =1 – 0,97 = 0,03 — вероятность появления нестандартной детали. Согласно приведенным выше формулам определяем нужные величины:

Задача 2. Два ювелирные заводы производят свадебные кольца в объеме 3:7 . Первый завод производит 95% колец без дефекта, второй – 90% . Молодая пара перед свадьбой покупает пару колец. Построить закон распределения, вычислить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Вероятность события А – куплена кольцо оказалась качественной определим по формуле полной вероятности

Случайная величина Х – количество колец надлежащего качества среди купленных имеет биномиальное закон распределения с параметрами

Найдем соответствующие вероятности

Запишем таблицу распределения

На основе табличных данных вычисляем математическое ожидание

Среднее квадратичное отклонение

Как можно убедиться из примеров, биномиальний закон распределения простой как для понимания так и для вычислений. Хорошо разберитесь с примерами и пользуйтесь биномиальным распределением там где это необходимо.

Биномиальное распределение

Материал из MachineLearning.

Содержание

Определение

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины принимающей целочисленные значения с вероятностями:

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом 0,» alt= «n>0,» /> называемым числом испытаний, и вещественным числом называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из независимых испытаний, в каждом из которых может произойти «успех» с вероятностью то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства

  • Математическое ожидание:
  • Дисперсия:
  • Асимметрия: при распределение симметрично относительно центра

Асимптотические приближения при больших

Если значения велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение Пуассона

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения большие, а значения близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром

Строгая формулировка: если и таким образом, что то

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром Тогда для произвольного множества справедливо неравенство:

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].

Нормальное приближение

Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда а фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении в виде суммы слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям таким что имеет место

где — плотность стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает нечасто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]:

где случайная величина имеет стандартное нормальное распределение и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле

где — функция распределения стандартного нормального закона:

Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:

где — функция распределения случайной величины На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.

Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений изменение будет невелико, однако для небольших это может внести дополнительную погрешность.

Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.

Пусть Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения не более чем на . Заметим, что значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.

Точная вероятность рассматриваемого события равна

Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):

Ошибка приближения равна .

Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:

Ошибка приближения равна — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 20. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики

20. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики.

Определение. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, . m, . n с вероятностями

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X=m наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

Очевидно, что определение биномиального закона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибоесть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:

(отсюда и название закона — биномиальный).

На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n=5 и p (для p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8).

Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по биномиальному закону, M(X)=np, а её дисперсия D(X)=npq.

Случайную величину X — число m наступлений события A в n независимых испытаниях — можно представить в виде суммы n независимых случайных величинX1+X2+. +Xn, каждая из которых имеет один и тот же закон распределения, т. е.

Случайная величина Xk выражает число наступлений события A в k-м испытании (k=1, 2, . n), то есть при наступлении события A Xk=1 с вероятностью p, при ненаступлении — Xk=0с вероятностью q. Случайную величину Xk называют альтернативной случайной величиной (или распределённой по закону Бернулли, или индикатором события A).

Математическое ожидание и дисперсию альтернативной случайной величины найдём по известным формулам.

Теперь математическое ожидание и дисперсия случайной величины X:

(при нахождении математического ожидания и дисперсии суммы случайных величин учтена их независимость).

Следствие. Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью p, равно p, т. е.

Наивероятнейшее число наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, удовлетворяет неравенству np-q≤m0≤np+p. Это означает, что мода случайной величины, распределённой по биномиальному закону, — число целое — находится из того же неравенства np-q≤M0(X)≤np+p.

Биномиальный закон широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях.

Биномиальное распределение случайной величины

Приветствую всех читателей!

Статистический анализ, как известно, занимается сбором и обработкой реальных данных. Дело полезное, а зачастую и выгодное, т.к. правильные выводы позволяют избежать ошибок и потерь в будущем, а иногда и правильно угадать это самое будущее. Собранные данные отражают состояние некоторого наблюдаемого явления. Данные часто (но не всегда) имеют числовой вид и с ними можно проделывать различные математические манипуляции, извлекая тем самым дополнительную информацию.

Однако не все явления измеряются в количественной шкале типа 1, 2, 3 . 100500 . Не всегда явление может принимать бесконечное или большое количество различных состояний. Например, пол у человека может быть либо М, либо Ж. Стрелок либо попадает в цель, либо не попадает. Голосовать можно либо «За», либо «Против» и т.д. и т.п. Другими словами, такие данные отражают состояние альтернативного признака – либо «да» (событие наступило), либо «нет» (событие не наступило). Наступившее событие (положительный исход) еще называют «успехом». Такие явления также могут носить массовый и случайный характер. Следовательно, их можно измерять и делать статистически обоснованные выводы.

Эксперименты с такими данными называются схемой Бернулли, в честь известного швейцарского математика, который установил, что при большом количестве испытаний соотношение положительных исходов и общего количества испытаний стремится к вероятности наступления этого события.

Переменная альтернативного признака

Для того, чтобы в анализе задействовать математический аппарат, результаты подобных наблюдений следует записать в числовом виде. Для этого положительному исходу присваивают число 1, отрицательному – 0. Другими словами, мы имеем дело с переменной, которая может принимать только два значения: 0 или 1.

Какую пользу отсюда можно извлечь? Вообще-то не меньшую, чем от обычных данных. Так, легко подсчитать количество положительных исходов – достаточно просуммировать все значения, т.е. все 1 (успехи). Можно пойти далее, но для этого потребуется ввести парочку обозначений.

Первым делом нужно отметить, что положительные исходы (которые равны 1) имеют некоторую вероятность появления. Например, выпадение орла при подбрасывании монеты равно ½ или 0,5. Такая вероятность традиционно обозначается латинской буквой p. Следовательно, вероятность наступления альтернативного события равна 1 — p, которую еще обозначают через q, то есть q = 1 – p. Указанные обозначения можно наглядно систематизировать в виде таблички распределения переменной X.

Теперь у нас есть перечень возможных значений и их вероятности. Можно приступить к расчету таких замечательных характеристик случайной величины, как математическое ожидание и дисперсия. Напомню, что математическое ожидание рассчитывается, как сумма произведений всех возможных значений на соответствующие им вероятности:

Вычислим матожидание, используя обозначения в таблицы выше.

Получается, что математическое ожидание альтернативного признака равно вероятности этого события – p.

Теперь определим, что такое дисперсия альтернативного признака. Также напомню, что дисперсия – есть средний квадрат отклонений от математического ожидания. Общая формула (для дискретных данных) имеет вид:

Отсюда дисперсия альтернативного признака:

Нетрудно заметить, что эта дисперсия имеет максимум 0,25 (при p=0,5).

Среднее квадратическое отклонение – корень из дисперсии:

Максимальное значение не превышает 0,5.

Как видно, и математическое ожидание, и дисперсия альтернативного признака имеют очень компактный вид.

Биномиальное распределение случайной величины

Теперь рассмотрим ситуацию под другим углом. Действительно, кому интересно, что среднее выпадение орлов при одном бросании равно 0,5? Это даже невозможно представить. Интересней поставить вопрос о числе выпадения орлов при заданном количестве подбрасываний.

Другими словами, исследователя часто интересует вероятность наступления некоторого числа успешных событий. Это может быть количество бракованных изделий в проверяемой партии (1- бракованная, 0 — годная) или количество выздоровлений (1 – здоров, 0 – больной) и т.д. Количество таких «успехов» будет равно сумме всех значений переменной X, т.е. количеству единичных исходов.

Случайная величина B называется биномиальной и принимает значения от 0 до n (при B = 0 — все детали годные, при B = n – все детали бракованные). Предполагается, что все значения x независимы между собой. Рассмотрим основные характеристики биномиальной переменной, то есть установим ее математическое ожидание, дисперсию и распределение.

Матожидание биномиальной переменной получить очень легко. Вспомним, что математическое ожидание суммы величин есть сумма математических ожиданий каждой складываемой величины, а оно у всех одинаковое, поэтому:

Например, математическое ожидание количества выпавших орлов при 100 подбрасываниях равно 100 × 0,5 = 50.

Теперь выведем формулу дисперсии биномиальной переменной. Дисперсия суммы независимых случайных величин есть сумма дисперсий. Отсюда

Среднее квадратическое отклонение, соответственно

Для 100 подбрасываний монеты среднеквадратическое отклонение равно

И, наконец, рассмотрим распределение биномиальной величины, т.е. вероятности того, что случайная величина B будет принимать различные значения k, где 0≤ k ≤n. Для монеты эта задача может звучать так: какова вероятность выпадения 40 орлов при 100 бросках?

Чтобы понять метод расчета, представим, что монета подбрасывается всего 4 раза. Каждый раз может выпасть любая из сторон. Мы задаемся вопросом: какова вероятность выпадения 2 орлов из 4 бросков. Каждый бросок независим друг от друга. Значит, вероятность выпадения какой-либо комбинации будет равна произведению вероятностей заданного исхода для каждого отдельного броска. Пусть О – это орел, Р – решка. Тогда, к примеру, одна из устраивающих нас комбинаций может выглядеть как ООРР, то есть:

Вероятность такой комбинации равняется произведению двух вероятностей выпадения орла и еще двух вероятностей не выпадения орла (обратное событие, рассчитываемое как 1 — p), т.е. 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Такова вероятность одной из устраивающих нас комбинации. Но вопрос ведь стоял об общем количестве орлов, а не о каком-то определенном порядке. Тогда нужно сложить вероятности всех комбинаций, в которых присутствует ровно 2 орла. Ясно, все они одинаковы (от перемены мест множителей произведение не меняется). Поэтому нужно вычислить их количество, а затем умножить на вероятность любой такой комбинации. Подсчитаем все варианты сочетаний из 4 бросков по 2 орла: РРОО, РОРО, РООР, ОРРО, ОРОР, ООРР. Всего 6 вариантов.

Следовательно, искомая вероятность выпадения 2 орлов после 4 бросков равна 6×0,0625=0,375.

Однако подсчет подобным образом утомителен. Уже для 10 монет методом перебора получить общее количество вариантов будет очень трудно. Поэтому умные люди давно изобрели формулу, с помощью которой рассчитывают количество различных сочетаний из n элементов по k, где n – общее количество элементов, k – количество элементов, варианты расположения которых и подсчитываются. Формула сочетания из n элементов по k такова:

Подобные вещи проходят в разделе комбинаторики. Всех желающих подтянуть знания отправляю туда. Отсюда, кстати, и название биномиального распределения (формула выше является коэффициентом в разложении бинома Ньютона).

Формулу для определения вероятности легко обобщить на любое количество n и k. В итоге формула биномиального распределения имеет следующий вид.

Словами: количество подходящих под условие комбинаций умножить на вероятность одной из них.

Для практического использования достаточно просто знать формулу биномиального распределения. А можно даже и не знать – ниже показано, как определить вероятность с помощью Excel. Но лучше все-таки знать.

Рассчитаем по этой формуле вероятность выпадения 40 орлов при 100 бросках:

Или всего 1,08%. Для сравнения вероятность наступления математического ожидания этого эксперимента, то есть 50 орлов, равна 7,96%. Максимальная вероятность биномиальной величины принадлежит значению, соответствующему математическому ожиданию.

Расчет вероятностей биномиального распределения в Excel

Если использовать только бумагу и калькулятор, то расчеты по формуле биноминального распределения, несмотря на отсутствие интегралов, даются довольно тяжело. К примеру значение 100! – имеет более 150 знаков. Вручную рассчитать такое невозможно. Раньше, да и сейчас тоже, для вычисления подобных величин использовали приближенные формулы. В настоящий момент целесообразно использовать специальное ПО, типа MS Excel. Таким образом, любой пользователь (даже гуманитарий по образованию) вполне может вычислить вероятность значения биномиально распределенной случайной величины.

Для закрепления материала задействуем Excel пока в качестве обычного калькулятора, т.е. произведем поэтапное вычисление по формуле биномиального распределения. Рассчитаем, например, вероятность выпадения 50 орлов. Ниже приведена картинка с этапами вычислений и конечным результатом.

Как видно, промежуточные результаты имеют такой масштаб, что не помещаются в ячейку, хотя везде и используются простые функции типа: ФАКТР (вычисление факториала), СТЕПЕНЬ (возведение числа в степень), а также операторы умножения и деления. Более того, этот расчет довольно громоздок, во всяком случаен не является компактным, т.к. задействовано много ячеек. Да и разобраться с ходу трудновато.

В общем в Excel предусмотрена готовая функция для вычисления вероятностей биномиального распределения. Функция называется БИНОМ.РАСП.

Синтаксис функции состоит из 4 параметров:

Поля имеют следующие назначения:

Число успехов – количество успешных испытаний. У нас их 50.

Число испытаний – количество подбрасываний: 100 раз.

Вероятность успеха – вероятность выпадения орла при одном подбрасывании 0,5.

Интегральная – указывается либо 1, либо 0. Если 0, то рассчитается вероятность P(B=k); если 1, то рассчитается функция биномиального распределения, т.е. сумма всех вероятностей от B=0 до B=k включительно.

Нажимаем ОК и получаем тот же результат, что и выше, только все рассчиталось одной функцией.

Очень удобно. Эксперимента ради вместо последнего параметра 0 поставим 1. Получим 0,5398. Это значит, что при 100 подкидываниях монеты вероятность выпадения орлов в количестве от 0 до 50 равна почти 54%. А поначалу то казалось, что должно быть 50%. В общем, расчеты производятся легко и быстро.

Настоящий аналитик должен понимать, как ведет себя функция (каково ее распределение), поэтому произведем расчет вероятностей для всех значений от 0 до 100. То есть зададимся вопросом: какова вероятность, что не выпадет ни одного орла, что выпадет 1 орел, 2, 3, 50, 90 или 100. Расчет приведен в нижеследующей самодвигающейся картинке. Синяя линия – само биномиальное распределение, красная точка – вероятность для конкретного числа успехов k.

Кто-то может спросить, а не похоже ли биномиальное распределение на. Да, очень похоже. Еще Муавр (в 1733 г.) говорил, что биномиальное распределение при больших выборках приближается к нормальному закону (не знаю, как это тогда называлось), но его никто не слушал. Только Гаусс, а затем и Лаплас через 60-70 лет вновь открыли и тщательно изучили нормальной закон распределения. На графике выше отлично видно, что максимальная вероятность приходится на математическое ожидание, а по мере отклонения от него, резко снижается. Также, как и у нормального закона.

Биномиальное распределение имеет большое практическое значение, встречается довольно часто. С помощью Excel расчеты проводятся легко и быстро. Так что можно смело использовать.

На этом предлагаю распрощаться до следующей встречи. Всех благ, будьте здоровы!

Равномерный закон распределения. Примеры

Целочисленных случайная величина Х имеет равномерный закон распределения, если вероятности ее возможных значений одинакова от эксперимента к эксперименту и вычисляются формуле

В табличной форме записи равномерный закон распределения имеет вид:

Условие нормировки для равномерного закона распределения имеет вид

Вероятностная образующая функция на основе первой формулы принимает значение

Числовые характеристики равномерного закона находим на основе образующей функции

1. Математическое ожидание находим по формуле

При х = 1 получаем неопределенность которую раскрываем по правилу Лопиталя

При х = 1 нова имеем неопределенность вида которую также раскрываем по правилу Лопиталя

Вычисление заняли богатая времени, однако формула для математического ожидания получилась довольно легкой.

2. Выполнив подобные, но более громоздкие преобразования, дисперсию и среднее математическое отклонение находим по формулам

3. Для равномерного распределения вероятностей асимметрия и эксцесс равны нулю

Есть и другое определение, согласно которому функция имеет равномерное распределение, если некотором интервале плотность вероятностей принимает постоянное значение

Функция распределения вероятностей для равномерного закона определяется интегрированием

Математическое ожидание в таких случаях определяют зависимости

дисперсию по формуле

и среднее квадратическое отклонение через корень

Вероятность попадания случайной величины Х в некоторый интервал , содержащийся внутри интервала определяется по формуле

Приведенные формулы часто являются применимыми на практике чем те, которые были даны выше.

Рассмотрим примеры отыскания числовых характеристик.

Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение М (Х), D (X), S (Х), Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х имеет равномерный закон распределения и возможные значения ее значение лежит в диапазоне 1..50:

.

Решение. По условию задачи имеем следующие данные n = 50, p = 1/50=0,02.

Согласно формулам вычисляем математическое ожидание

среднее квадратическое отклонение

Пример 2. Поезда в метро прибывают на станцию ??каждые 10 минут. Определить вероятность того, что время ожидания состава не будет больше 4 минуты.

Решение. По условию задачи имеем два интервала

Согласно формуле, искомая вероятность равна доле этих величин

Задачи на отыскание интервала попадания случайной величины, распределена по ривнимирним законом решайте по такой же схеме. Она проста и не требует сложных вычислений.

Еще по теме:

  • Подоходный налог по мо что это Подоходный налог с физических лиц 2018 в России: изменения и ставки НДФЛ Одним из самых популярных налогов в РФ является подоходный налог для физичесикх лиц, который затрагивает абсолютно всех работающих граждан. Не удивительно, что к нему такое пристальное внимание, ведь от того, каков […]
  • Единовременное пособие сроки выплат Сроки выплаты единовременного пособия при рождении ребенка. Какие документы надо подготовить? Сегодня существует ряд мер государственной помощи, адресованной семьям с детьми. Такие меры говорят о заинтересованности государства в рождении новых граждан. Чтобы иметь возможность […]
  • Ст 128-1 ук рф комментарии Статья 128.1. Клевета 1. Клевета, то есть распространение заведомо ложных сведений, порочащих честь и достоинство другого лица или подрывающих его репутацию, — наказывается штрафом в размере до пятисот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до […]
  • Таллин штрафы парковка Парковка в Таллине Путешественники, направляющиеся в Таллин на личном автомобиле или намеревающиеся взять авто в прокат, несомненно, столкнуться с замысловатой системой оплаты парковочных мест в городе. Ввиду того, что любые нарушения ПДД, в том числе нарушение условий парковки, […]
  • Закон о туристской деятельности республики крым Закон Республики Крым от 14 августа 2014 года №51-ЗРК "О туристской деятельности в Республике Крым" Комментарии Российской Газеты Принят Государственным Советом Республики Крым 30 июля 2014 года Настоящий Закон определяет принципы государственного регулирования туристской деятельности в […]
  • Степени родства в наследовании Степени родства в наследовании Газета Тверского района Центрального административного округа города Москвы «Каретный Ряд», №8(211) за 2009 г., рубрика «Заметки нотариуса» На Ваши вопросы, касающиеся деятельности нотариата в городе Москве, Вас продолжает консультировать нотариус Ульяна […]
  • Расчет кв по земельному налогу Коэффициент земельного налога в 2016 году Обновление: 7 февраля 2017 г. Налог на землю за 2016 год рассчитывается довольно просто. Во-первых, необходимо определить базу налога. Во-вторых, умножить значение базы на ставку налога. И в-третьих, в некоторых случаях необходимо применить […]
  • Приказ лимит кассы на 2018 год для ип Расчет лимита остатка кассы на 2018 год Расчет лимита остатка кассы на 2018 год Похожие публикации Любая фирма или ИП применяют в своей деятельности наличные деньги: в расчетах с организациями и физлицами, со своими работниками и т.д. В каждом случае «наличка» проходит через кассу, где […]