Сочетательный и распределительный законы

Сочетательный и распределительный законы

В дальнейшем, когда будем изучать действия над числами, изображёнными цифрами или буквами (безразлично), нам придётся во многих выводах опираться на те законы действий, которые изучались в арифметике. В силу важности этих законов они называются основными законами действий.

1. Переместительный закон сложения.

Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.

Этот закон уже был записан в § 1 в виде равенства:

где а и — любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для суммы любого числа слагаемых.

2. Сочетательный закон сложения.

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Для суммы трёх слагаемых имеем:

Например, сумму можно вычислить двумя способами так:

Сочетательный закон справедлив для любого числа слагаемых.

Так, в сумме четырёх слагаемых рядом стоящие слагаемые можно как угодно объединять в группы и заменять эти слагаемые их суммой:

Например, мы получим то же число 16, каким бы способом ни группировали рядом стоящие слагаемые:

Переместительным и сочетательным законами часто пользуются при устных вычислениях, располагая числа так, чтобы легче было их сложить в уме.

Поменяем местами два последних слагаемых, получим:

Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо легче.

Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают, а производят их перемещение в уме: переставив мысленно 67 и И, сразу складывают 89 и 11 и затем прибавляют 67.

Чтобы легче было сложить эти числа в уме, изменим порядок слагаемых так:

Пользуясь сочетательным законом, заключим два последних слагаемых в скобки:

Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:

3. Переместительный закон умножения.

Произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей:

где — любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для произведения любого числа сомножителей.

4. Сочетательный закон умножения.

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.

Для произведения трёх сомножителей имеем:

Например, произведение трёх сомножителей 5-3-4 можно вычислить так:

Для произведения четырёх сомножителей имеем:

Например, то же число 20 получится при любой группировке рядом стоящих сомножителей:

Применение переместительного и сочетательного законов умножения часто значительно облегчает вычисления.

Умножить 25 на 37 не очень легко. Переместим два последних сомножителя:

Теперь умножение легко выполнится в уме.

Применим переместительный и сочетательный законы, запишем это выражение так:

Все эти действия легко выполняются в уме.

5. Распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Чтобы умножить сумму двух (или нескольких) чисел на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и результаты сложить:

Пример 1. Распределительный закон мы применяем, например, при умножении двузначных (и многозначных) чисел. Так, чтобы умножить 26 на 7, мы представляем 26 в виде суммы , умножаем 20 на 7, 6 на 7 и результаты складываем;

Но иногда бывает выгоднее поступать наоборот: вместо того чтобы умножить каждое слагаемое на одно и то же число, сначала находят сумму этих слагаемых и умножают её на данное число.

Представим выражение в другом виде:

Мы применили здесь распределительный закон, но только записанный в обратном порядке:

Теперь вычисление выполняется очень легко (устно).

Основные законы сложения и умножения

В дальнейшем, когда будем изучать действия над числами, изображенными цифрами или буквами (безразлично), нам придется во многих выводах опираться на те законы действий, которые изучались в арифметике. В силу важности этих законов они называются основными законами действий.

1. Переместительный закон сложения.

Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.

Этот закон уже был записан в § 1 в виде равенства:

где a и b – любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для суммы любого числа слагаемых.

2. Сочетательный закон сложения.

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Для суммы трех слагаемых имеем:

(a + b) + c = a + (b + c).

Например, сумму 5 + 7 + 11 можно вычислить двумя способами так:

(5 + 7) + 11 = 12 + 11 = 23,
5 + (7 + 11) = 5 + 18 = 23.

Сочетательный закон справедлив для любого числа слагаемых.

Так, в сумме a + b + c + d четырех слагаемых рядом стоящие слагаемые можно как угодно объединять в группы и заменять эти слагаемые их суммой:

a + b + c + d = (a + b + c) + d = (a + b) + (c + d) =
= a + (b + c) + d = a + b + (c + d) = (a + b) + c + d .

Например, 1 + 3 + 5 + 7 = 16; мы получим то же число 16, каким бы способом ни группировали рядом стоящие слагаемые:

1 + (3 + 5) + 7 = 1 + 8 + 7 = 16,
1 + 3 + (5 + 7) = 1 + 3 + 12 = 16,
(1 + 3) + (5 + 7) = 4 + 12 = 16.

Переместительным и сочетательным законами часто пользуются при устных вычислениях, располагая числа так, чтобы легче было их сложить в уме.

Поменяем местами два последних слагаемых, получим:

Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо легче.

Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают, а производят их перемещение в уме: переставив мысленно 67 и 11, сразу складывают 89 и 11 и затем прибавляют 67.

.

Чтобы легче был сложить эти числа в уме, изменим порядок слагаемых так:

.

Пользуясь сочетательным законом, заключим два последних слагаемых в скобки:

.

Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:

.

3. Переместительный закон умножения.

Произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей:

где a и b – любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для произведения любого числа сомножителей.

4. Сочетательный закон умножения.

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.

Для произведения трех сомножителей имеем:

Например, произведение трех сомножителей 5 * 3 * 4 можно вычислить так:

(5 * 3) * 4 = 15 * 4 = 60

5 * (3 * 4) = 5 * 12 = 60 .

Для произведения четырех сомножителей имеем:

abcd = (abc)d = (ab)cd = a(bc)d = (ab)(cd) = a(bcd) = ab(cd).

Например, ; то же число 20 получится при любой группировке рядом стоящих сомножителей:

Применение переместительного и сочетательного законов умножения часто значительно облегчает вычисления.

Умножить 25 и 37 не очень легко. Переместим два последних сомножителя:

Теперь умножение легко выполнить в уме.

Применим переместительный и сочетательный законы, запишем это выражение так:

Все эти действия легко выполняются в уме.

5. Распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Чтобы умножить сумму двух (или нескольких) чисел на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и результаты сложить:

Пример 1 . Распределительный закон мы применяем, например, при умножении двузначных (и многозначных) чисел. Так, чтобы умножить 26 на 7, мы представляем 26 в виде суммы 20 + 6, умножаем 20 на 7, 6 на 7 и результаты складываем:

26 * 7 = (20 + 6) * 7 = 20 * 7 + 6 * 7 = 140 + 42 = 182.

Но иногда бывает выгоднее поступать наоборот: вместо того чтобы умножить каждое слагаемое на одно и то же число, сначала находят сумму этих слагаемых и умножают ее на данное число.

Представим выражение в другом виде:

Мы применили здесь распределительный закон, но только записанный в обратном порядке:

Теперь вычисление выполняется очень легко (устно).

Законы умножения

Для рациональных чисел остаются справедливыми те же законы умножения, которые были приведены в § 5 для положительных чисел.

1. Переместительный закон.

Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство:

Это следует из определения умножения рациональных чисел. В самом деле, мы берем произведение абсолютных величин сомножителей, а оно не зависит от порядка, в котором берем эти абсолютные величины.

Знак произведения тоже определяем независимо от того, в каком порядке следовали сомножители. Мы смотрим только, одинаковые ли знаки у обоих сомножителей или различные.

Переместительный закон справедлив для произведения любого числа сомножителей. Так, например, перемножая числа –2, 3, 5 и –8 в любом порядке, мы получим одно и то же число 240. В самом деле, в каком бы порядке мы ни перемножали абсолютные величины сомножителей, получим одно и то же число 2 * 3 * 5 * 8 = 240. Знак произведения получим, подсчитав количество отрицательных сомножителей независимо от порядка, в каком они расположены. В нашем примере число 240 следует взять со знаком +, так как в произведении содержится два отрицательных сомножителя.

2. Сочетательный закон.

При умножении любых рациональных чисел остается в силе сочетательный закон умножения.

Для любых трех рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

В самом деле, в выражении a(bc) мы должны абсолютную величину a умножить на произведение абсолютных величин b и c , в выражении (ab)c мы должны произведение абсолютных величин a и b умножить на абсолютную величину c . Но абсолютные величины — это неотрицательные числа (то есть положительные или равные нулю), а для таких чисел сочетательный закон верен.

Значит, абсолютная величина обеих частей равенства одна и та же. Легко также убедиться, что и знак обоих произведений будет один и тот же, каковы бы ни были знаки чисел a, b и с (оба произведения положительны, если среди чисел a, b и с нет отрицательных или два из них отрицательны; оба произведения отрицательны, если одно из этих чисел или все три отрицательны; оба произведения равны нулю, если хотя бы одно из чисел a, b или c равно нулю).

Таким же образом можно убедиться в справедливости сочетательного закона для произведения любого числа сомножителей.

Пример . Это произведение нетрудно вычислить, перемножив сначала второй и третий сомножители: 3. Распределительный закон.

Для любых рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

Убедимся в этом на примерах.

1) [2 + (–3)] * 4 = 2 * 4 + (–3) * 4.

[2 + (–3)] * 4 = (–1) * 4 = –4;
2 * 4 + (–3) * 4 = 8 – 12 = –4.

2) [(–3) + 5] * (–6) = (–3) * (–6) + 5 * (–6).

[(–3) + 5] * (–6) = 2 * (–6) = –12;
(–3) * (–6) + 5 * (–6) = 18 – 30 = –12.

Распределительный закон имеет место при умножении на какой-либо множитель суммы любого числа слагаемых.

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Пользуясь переместительным законом умножения, в последнем примере можно переставить сомножители, тогда получим следующее:

Чтобы умножить какое-либо число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Отметим следующие два свойства умножения:

1. Умножение произведения.
Чтобы умножить произведение нескольких чисел на число, можно умножить на это число один из сомножителей, оставив остальные без изменения.

[4 * (–3) * 5] * (–2) = (–60) * (–2) = 120
и
[4 * (–2)] * (–3) * 5 = (–8) * (–3) * 5 = 120.

2. Умножение на произведение.

Чтобы умножить число на произведение нескольких чисел, можно умножить это число на первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и так далее до конца.

4 * [5 * (–2) * 3] = 4 * (–30) = –120
и
(4 * 5) * (–2) * 3 = 20 * (–2) * 3 = (–40) * 3 = –120.

Эти последние свойства вытекают из законов умножения

что такое распределительный закон в математике объясните пожалуйста) А ещё сочетательный пожалуйста помогите)))

Переместительный закон сложения: а + в = в + а.

Сочетательный закон сложения: (а + в) + с = а + (в + с) .

Переместительный закон умножения: ав = ва.

Сочетательный закон умножения: (ав) с = а (вс) .

Распределительный закон умножения относительно сложения: (а + в) с = ас + вс.

Распределительный закон умножения относительно вычитания: (а — в) с =ас — вс.

Переместительный закон сложения: а + в = в + а.

Сочетательный закон сложения: (а + в) + с = а + (в + с) .

Переместительный закон умножения: ав = ва.

Сочетательный закон умножения: (ав) с = а (вс) .

Распределительный закон умножения относительно сложения: (а + в) с = ас + вс.

Распределительный закон умножения относительно вычитания: (а — в) с =ас — вс

Переместительный закон сложения: а + в = в + а.

Сочетательный закон сложения: (а + в) + с = а + (в + с) .

Переместительный закон умножения: ав = ва.

Сочетательный закон умножения: (ав) с = а (вс) .

Распределительный закон умножения относительно сложения: (а + в) с = ас + вс.

Распределительный закон умножения относительно вычитания: (а — в) с =ас — вс.

Переместительный закон сложения: а + в = в + а

Сочетательный закон сложения: (а + в) + с = а + (в + с)

Переместительный закон умножения: ав = ва

Сочетательный закон умножения: (ав) с = а (вс)

Распределительный закон умножения относительно сложения: (а + в) с = ас + вс

Распределительный закон умножения относительно вычитания: (а — в) с =ас — вс

Урок в 5 классе «Сочетательный и распределительный законы умножения»

Успейте воспользоваться скидками до 60% на курсы «Инфоурок»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта «Инфоурок» и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 258 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

Открытый урок в 5 классе

Тема: Сочетательный и распределительный законы умножения

Цель: изучить сочетательный и распределительный законы умножения и учиться пользоваться ими при решении

упражнений, развивать вычислительные навыки и самостоятельное мышление

Оборудование: карточки для блиц-опроса, цветные мелки, заготовки маков и ступенек для игр.

Тип урока: изучение нового материала

1. Орг. момент: Приветствие, рефлексия. Объявление темы урока (1 мин)

2. Блиц-опрос на карточках (5 мин)

Вопросы для блицопроса

Правильно ли, что 2 + 2 + 2 = 2-3? да нет

Правильно ли, что 4 + 4 = 2-4? да нет

Результат умножения называется

Числа, которые перемножаются, называются

Сели один из множителей увеличить в 3 раза, а второй оставить без

изменения, то произведение______________в раза.

7- Если каждый из множителей уменьшить в 5 раз, то произведение
в раз.

Если один из множителей увеличить в 2 раза, а второй уменьшить в 2 раза, то произведение_____________________ в ___ раз.

Запишите в виде произведения:

1 )42 ь 42 г 42 + 42 + 42 + 42 + 42 =

4)13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13=

х + х + х + х + х =___________

10. Запишите в виде суммы:

2)314*3 = 3)с*7 — 4)(x- у )*4=

11. Найдите ошиокп и випоаьто их. записав равенство правильно:
1)6 = 2* 2* 2

12. Составьте выражение для решения такой задачи.

В двух корзинах лежат яблоки, причем в одной из них в 2 раза полытте яблок,чем во второй. Сколько яблок к обеих корзинах, сели в более малой лежит 15 яблок?

3. Игра «Маки». Класс делится на две команды. К доске по очереди выходят представители команд и заполняют маки, при этом детям предлагается решать примеры на месте и записывать на доске свои ответы.(7 мин)

4. Создание проблемной ситуации. Вычислите устно за две минуты:

25*243*4 943*268+943*732 (2 мин)

5. Изучение нового материала (20 мин) Не расстраивайтесь, сегодня мы узнаем два закона умножения, с помощью которых вы легко с этим справитесь.

1) Найдите значения следующих выражений: (2*5)*12 и 2*(5*12)

Видим, что (2*5)*12 = 2*(5*12). Спрячем каждую цифру за буквой,получим

(а*в)*с = а*(в*с) — это сочетательный закон умножения. Проговорим его.(Класс вместе с учителем проговоривает

правило по формуле на доске).

Напомните переместительный закон умножения. А теперь, давайте решим первый пример:

2*238*5 = (2*5)*238 = 10*238 =2380

Решите аналогично второй и третий примеры.(1 мин)

Что же, спервой группой заданий мы справились.

2) Вычислите: 3*5+7*5 и (3+7)*5

Имеем 3*5+7*5 = (3+7)*5 . Спрячем каждую цифру за буквой, получим:

а*с+в*с = (а+в)*с . Это — распределительный закон умножения. Научимся его читать. .

Вернемся ко второй группе заданий

318*78+318*22 = (78+22)*318 = 100*318 = 31800

Решите оставшиеся примеры

6. (5 мин) Закрепление изученного материала, применение его при решении упражнений

Какие законы мы сегодня узнали? Для чего они нужны?

Выполним вместе № 448. 16*25 = 4*(4*25) = 4*100 = 400

25*8*5 = 25*(8*5) = 25*40 = 1000

375*24 = 3*125*8*3 = (125*8)*(3*3) =1000*9 = 9000

7. Домашнее задание: выучит правила на с.116, 117, решить № 433, 437, 450

8. Подведение итогов: игра «ступени»

Крайненская общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней

Открытый урок в 5 классе

Сочетательный и распределительный

учитель Бекирова В.С.

Открытый урок в 5 классе

Тема: Сочетательный и распределительный законы умножения

Цель: изучить сочетательный и распределительный законы умножения и учиться пользоваться ими при решении

упражнений, развивать вычислительные навыки и самостоятельное мышление

Оборудование: карточки для блиц-опроса, цветные мелки, заготовки маков и ступенек для игр.

Тип урока : изучение нового материала.

На уроке применены различные виды работ. Для контроля знаний применен блиц-опрос. На разных этапах урока использованы игра «Маки» и игра «Ступеньки» дляактивизации мыслительной деятельности учащихся

  • Бекирова Венера Серверовна
  • 4005
  • 15.02.2015

Номер материала: 389025

Свидетельство о публикации данного материала автор может скачать в разделе «Достижения» своего сайта.

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Еще по теме:

  • Решение арбитражного суда состоит из Статья 127. Содержание решения 1. Арбитражный суд принимает решение именем Российской Федерации. 2. Решение арбитражного суда состоит из вводной, описательной, мотивировочной и резолютивной частей. Вводная часть решения должна содержать наименование арбитражного суда, принявшего […]
  • Федорченко а в нотариус отзывы Почти монополист Что объединяет Райффайзенбанк, DeltaCredit и ВТБ 24? Эти банки — крупнейшие после Сбербанка по объемам выданных ипотечных кредитов (на троих — больше $1 млрд). А еще все эти банки пользуются для оформления ипотечных сделок в Москве услугами одного-единственного […]
  • Стопхам не имеет право Имеет ли право федеральная программа СтопХам, снимать видео с участием людей и их машин? Здравствуйте, я бы хотел узнать имеет ли Федеральная программа СтопХам Прово снимать видео со мной или моей машиной, я бы хотел подать в суд на эту программу, а точнее узнать возможно ли это сделать, […]
  • По приказу короля По приказу короля По приказу короля Перевод с английского В.В. Мацукевича По приказу короля : роман / Кинли Макгрегор; пер. с англ. В.В. Мацукевича. — М.: ACT: ACT МОСКВА, 2007. — 317, 3 с. — (Очарование). ISBN 5-17-037707-Х, 5-9713-3602-9 (ООО Издательство «ACT МОСКВА») УДК 821, 111(73) […]
  • Статья 93 закона об образовании ст 93 Закон 273-ФЗ Об образовании в РФ 2018 новый Статья 93. Государственный контроль (надзор) в сфере образования 1. Государственный контроль (надзор) в сфере образования включает в себя федеральный государственный контроль качества образования и федеральный государственный надзор в […]
  • Пенсия в таиланде On -Thailand.ru Рекомендуем: Вопросы о Тайланде А знаете ли вы? Скидки сезона до 10%! Гарантия лучшей цены! А знаете ли вы, что в Тайланде нет пенсий. Действительно, посещая разные страны, мы мало задумываемся над тем, как устроено государство изнутри, какие проблемы и ситуации […]
  • Образец соглашения об уплате алиментов на содержание родителей Алименты с детей на содержание пожилых родителей Вопрос: Должны ли дети платить алименты родителям? Ответ: Да, обязаны! Статья 87 Семейного кодекса гласит: «Трудоспособные совершеннолетние дети обязаны содержать своих нетрудоспособных нуждающихся в помощи родителей и заботиться о […]
  • Как увидеть задолженность по налогам Задолженность по налогам физических лиц по фамилии Актуально на: 11 января 2018 г. Мы рассказывали в отдельной консультации, как проверить задолженность физического лица по уплате налогов, используя данные о его идентификационном номере налогоплательщика (ИНН). А можно ли проверить […]