Электротехника решение задач по закону кирхгофа

Законы Кирхгофа — формулы и примеры использования

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii , Ri – ток и сопротивление i -й ветви.

Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2 ) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

Замечание о знаках полученного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.

Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только ( y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга.

Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1 .

Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 3 ). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.

Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 , также три уравнения.

Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4 ). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.

Потенциальная диаграмма – это графическое изображение второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми.

Рассмотрим контур abcda схемы, изображенной на рис. 4. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.

Рис. 4. Контур для построения потенциальной диаграммы

Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ?а= 0), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ?а = 0, ?к = ?а — I1R1 , ? b = ? к + Е1, ?с = ? b — I2R2 , ? d = ?c — Е2, ? a = ?d + I3R3 = 0

При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 5 ).

Рис. 5. Потенциальная диаграмма

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений.

Первый закон Кирхгофа : «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

Второй закон Кирхгофа : «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура».

Примеры решения задач на законы Кирхгофа

Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.

Задача 1

Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи

Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:

Все эти три уравнения образуют систему

Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).

Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

Задача 2

Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2

Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.

На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными

Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины

Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.

Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.

Постоянный ток

Прочитав статейки про первый и второй законы Кирхгофа, уважаемый читатель может сказать: «Хорошо, MyElectronix, ты рассказал мне, конечно, интересные штуки, но что мне дальше с ними делать? Пока по твоим словам я заключил, что если я соберу ручками схему, то я смогу в каждом ее узле и в каждом контуре намерить вот такие вот зависимости. Это здорово, но я хотел бы рассчитывать схемы, а не просто наблюдать зависимости!»

Господа, все эти замечания абсолютно верные и в ответ на них можно лишь рассказать о расчете электрических схем с помощью законов Кирхгофа. Без лишних слов перейдем сразу к делу!

Начнем с самого простейшего случая. Он изображен на рисунке 1. Допустим, ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.

Господа, замечу сразу, эту задачу можно решить гораздо более простым способом, чем с применением законов Кирхгофа. Однако сейчас наша задача не искать оптимальные способы решения, а на наглядном примере рассмотреть методику применения законов Кирхгофа при расчете схем.

Рисунок 1 – Простая схема

В этой схеме мы можем видеть три контура. Если возник вопрос – а почему три, то рекомендую посмотреть статью про второй закон Кирхгофа . В той статье имеется практически такая же схема с наглядным пояснением методики расчета числа контуров.

Господа, хочу отметить один тонкий момент. Хоть контура и три, независимых из них только два. Третий контур включает в себя все остальные и не может считаться независимым. И вообще всегда при всех расчетах мы должны использовать только независимые контура. Не поддавайтесь искушению записать еще одно уравнение за счет этого общего контура, ничего хорошего не выйдет .

Итак, будем использовать два независимых контура. Для этого зададимся в каждом контуре направлением обхода контура. Как мы уже говорили, это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода каждого контура нарисуем синей стрелкой.

Далее зададимся направлением токов в ветвях: просто проставим его наугад. Не важно, угадаем мы сейчас направление или нет. Если угадали, то в конце расчета мы получим ток со знаком плюс, а если ошиблись – со знаком минус. Итак, обозначим токи в ветвях черными стрелочками с подписями I1, I2, I3.

Мы видим, что в контуре №1 направление токов I1 и I3, а также направление источника питания совпадают с направлением обхода, поэтому будем считать их со знаком плюс. В контуре №2 ток I2 совпадет с направлением обхода, поэтому будет со знаком плюс, а ток I3 направлен в другую сторону, поэтому будет со знаком минус. Запишем второй закон Кирхгофа для контура №1:

А теперь запишем этот же закон для контура №2:

Видим, что в контуре №2 нет источников питания, поэтому в левой части (где у нас согласно второму закону Кирхгофа стоит сумма ЭДС) у нас нолик. Итак, у нас есть два уравнения, а неизвестных-то у нас три (I1, I2, I3). А нам известно, что для нахождения трех неизвестных нужна система с тремя независимыми уравнениями. Где же взять третье недостающее уравнение? А, например, из первого закона Кирхгофа ! Согласно этому закону мы можем записать

Господа, теперь полный порядок, у нас есть три уравнения и три неизвестных и нам остается только решить вот такую вот систему уравнений

Подставим конкретные числа. Все расчеты будем вести в кошерной системе СИ. Рекомендую всегда считать только в ней. Не поддавайтесь искушению подставлять куда-то миллиметры, мили, килоамперы и прочее. Возможно возникновение путаницы.

Решение таких систем рассматривается чуть ли не в начальной школе и, полагаю, не должно вызывать трудностей . Если что, есть куча математических пакетов, которые сделают это за вас, если вам лень самим ручками считай. Поэтому мы опустим процесс решения, а сразу приведем результат

Видим, что все токи получились у нас со знаком плюс. Это значит, что мы верно угадали их направление. Да, то есть токи в схеме текут именно в том направлении, как мы нарисовали стрелочки на рисунке 1. Однако из условия задачи необходимо найти не только токи через резисторы, но и падение напряжения на них. Как это сделать? Например, с помощью уже изученного нами закона Ома . Как мы помним, закон Ома связывает между собой ток, напряжение и сопротивление. Если нам известны любые две из этих величин, мы легко можем найти третью. В данном случае мы знаем сопротивление и ток, который течет через это сопротивление. Поэтому, используя вот эту формулу

находим напряжение на каждом резисторе

Заметим, господа, что напряжения на резисторах R2 и R3 равны между собой. Это и логично, поскольку они соединены между собой параллельно. Однако пока не будем на этом акцентировать большое внимание, рассмотрим это лучше в другой раз.

Итак, господа, мы решили эту простую задачку с помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома . Но это был совсем простой пример. Давайте попробуем решить более сложную задачу. Взгляните на рисунок 2.

Рисунок 2 – Схема посложнее

Схема выглядит внушительно, не правда ли? Возможно, вам даже не верится, что эту схему можно легко рассчитать. Однако, господа, уверяю вас, вы обладаете всеми необходимыми знаниями для расчета этой схемы, если уже изучили мои предыдущие статьи. Сейчас вы в этом убедитесь.

Для начала зададимся конкретными цифрами значений сопротивлений резисторов и напряжений источников.

Пусть Е1=15 В, Е2=24 В, R1= 10 Ом, R2 = 51 Ом, R3=100 Ом, R4=1 кОм, R5=10 Ом, R6=18 Ом, R7=10 кОм.

Найти, как и в прошлой задаче, требуется все токи в схеме и напряжения на всех резисторах.

В этой схеме мы можем видеть три независимых контура. Обозначим их римскими цифрами I, II, III. В каждом контуре зададимся направлением обхода. Они показаны синими стрелками.

Дальше как и в прошлый раз наугад расставим направления токов во всех ветвях и подпишем где какой ток. Видно, что всего у нас 6 ветвей и, соответственно, 6 разных токов (I1…I6).

Теперь запишем второй закон Кирхгофа для всех трех независимых контуров.

Второй закон Кирхгофа для контура I:

Второй закон Кирхгофа для контура II:

Второй закон Кирхгофа для контура III:

У нас есть три уравнения, однако неизвестных токов аж 6. Как и в прошлой задаче для получения недостающих уравнений запишем первые законы Кирхгофа для узлов.

Первый закон Кирхгофа для узла А:

Первый закон Кирхгофа для узла В:

Первый закон Кирхгофа для узла С:

Собственно, у нас теперь есть система из 6 уравнений с 6 неизвестными. Остается только решить эту систему

Подставляя числа, заданные в условии, получаем

Опуская решения за пределами статьи, приведем итоговый результат

Господа, мы видим, что почти все токи, кроме I4 получились у нас со знаками «минус». Это значит, что мы не угадали их направление, когда рисовали стрелочки на рисунке 2 . То есть все токи, кроме тока I4 на самом деле текут в противоположные стороны. А ток I4 течет так, как мы нарисовали. Хотя бы с ним мы угадали верно.

Теперь все по тому же закону Ома ровно как в прошлом примере рассчитаем напряжения на резисторах:

Вот и все, господа: схема рассчитана, а задачка решена. Таким образом, вы теперь обладаете весьма мощным инструментом по расчету электрических схем. С помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома вы сможете рассчитать весьма непростые схемы, найти величины токов и их направления, а также напряжения на всех нагрузках цепи. Более того, зная токи и напряжения вы легко сможете рассчитать и мощности, которые на этих резисторах выделяются, если воспользуетесь рекомендациями из моей предыдущей статьи .

На этом на сегодня все господа. Огромной вам всем удачи и успешных расчетов!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Физика дома

Задачи на применение закона Кирхгофа решаются в школе не часто, и не во всех классах. Работая в школе, я давала законы Кирхгофа только тем ребятам, кто готовился к олимпиадам по физике, и учащимся, которые готовились в ВУЗы.

Задачи на использование законов Кирхгофа есть даже не всех сборниках задач, рекомендованных для использования в средней школе.

Ниже приведён алгоритм решения задач по данной теме. Алгоритм не сложен. Использование данного алгоритма поможет Вам в решении задач по этой теме.

Итак, начнем. Сначала необходимо выполнить некоторые подготовительные операции.

  • перерисовать схему
  • указать направление ЭДС источников тока
  • указать предполагаемое направление токов, текущих в каждом резисторе (если итоговый ответ будет отрицательным, то направление тока было изначально выбрано не верно)
  • выбрать направление обхода для всех линейно независимых контуров

После проведения предварительных операций, приступаем собственно к решению самой задачи.

  • Записываем первый закон Кирхгофа: сумма токов, втекающих и вытекающих в данный узел, равна нулю.

Важно! Если ток втекает в узел, то он берётся со знаком «плюс», если вытекает, то со знаком «минус». Число уравнений второго закона Кирхгофа равно n-1, где n — число узлов в данной схеме. (Узел — точка, в которой соединяются три проводника и более).

  • Записываем второй закон Кирхгофа для всех линейно независимых контуров: Сумма ЭДС в контуре равно сумме падений напряжений в каждом из этих контуров.

Важно! Если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то значение ЭДС берётся со знаком «плюс». Если направление ЭДС не совпадает с направлением обхода контура, то значение ЭДС берётся со знаком «минус». Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения на данном участке берётся со знаком «плюс». Если направление тока через какой-либо резистор не совпадает с направлением обхода в данном контуре, то падение напряжения берётся со знаком «минус».

Решаем систему получившихся уравнений, относительно неизвестных величин.

Чаще всего в задачах этого типа, основную сложность представляет именно решение системы получившихся уравнений.

Ниже показан пример решения задачи с использованием законов Кирхгофа. Обратите внимание ещё раз на основные этапы решения. Они полностью соответствуют алгоритму, описанному выше.

Вот условие этой задачи.

Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех резисторов и амперметра. В этой цепи R1 = 100 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 20 Ом, ЭДС элемента ?1 = 2 В. Амперметр регистрирует ток I3 = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС ?2 второго элемента. Сопротивлением амперметра и внутренним сопротивлением источников пренебречь.

Удачи в освоении этой довольно сложной темы!

Возникающие вопросы можете оставлять в комментариях.

Примеры решения задач. Рекомендации для студента;

Рекомендации для студента

Метод контурных токов

Примеры решения задач

Рекомендации для студента

Метод узловых и контурных уравнений

Расчеты сложных электрических цепей методом узловых и контурных уравнений сводится к составлению уравнений по законам Кирхгофа. Общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов в ветвях электрической цепи. Порядок расчета:

1.Произвольно задаем направления токов в цепи;

2.Составляем (n-1) уравнение по первому закону Кирхгофа, где n – число узловых точек в схеме;

3.Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа;

4.Решаем систему уравнений, находим искомые токи. Если значение тока имеет знак «минус», это означает, что на схеме задано его противоположное значение.

Определить методом узловых и контурных уравнений токи: ( I1 , I2, I3) в электрической цепи (рисунок 1.11) при следующих исходных данных: Е1=100В, Е2= 40В, R1=20Ом, R2=40Ом, R3=50Ом.

1.Составляем уравнения по законам Кирхгофа:

2. I1 заменяем в соответствии с уравнением (а):

3.Выражаем из полученного уравнения I2

4.Подставляем полученное значение I3 в уравнение (в), получим значение I2

I3= 2R1+ Е1R2 )/(R3 R1 +R2 (R1 +R3))

Расчет методом узловых и контурных уравнений достаточно сложен из-за большого количества уравнений в системе. Поэтому часто используют метод контурных уравнений. Суть этого метода состоит в следующем:

1.Во всех ветвях произвольно задается направление токов;

2.В схеме выделяют m независимых контуров (контуры называются независимыми, если они отличаются хотя бы одной ветвью);

3.В каждом контуре произвольно задают направление контурного тока;

4.Записывают соотношение токов в ветвях с контурными токами;

5.Составляют систему уравнений по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров, находят контурные токи;

6.Находят токи в ветвях.

Определить методом контурных токов токи ( I1 , I2 , I3) в электрической цепи (рисунок 1.12) при следующих исходных данных: Е1=100В, Е2= 40В, R1=20Ом, R2=40Ом, R3=50Ом.

Записываем соотношение токов в ветвях с контурными токами: I1 = I11

Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров, находим контурные токи:

Из второго уравнения (б) выразим I11:

Еще по теме:

  • Признать право собственности на гараж за умершим Наследство / Образцы документов В суд Энского района и г.Энска Истец: Иванова Ольга Петровна, проживающая по адресу: г. Энск, ул. Ленина, д. 10, кв. 12 Ответчик: ИМНС по Энскому району, г. Энск, ул. Баумана, 2 ОБ УСТАНОВЛЕНИИ ФАКТА ВЛАДЕНИЯ, ПОЛЬЗОВАНИЯ ИРАСПОРЯЖЕНИЯ ИМУЩЕСТВОМ ЗА […]
  • Коллегии адвокатов москва вакансии Коллегии адвокатов москва вакансии Human Capital • Москва Помощник юриста Коллегия адвокатов города Москвы «Фрейтак и Сыновья» • Москва Центр Правовой Поддержки • Москва Московская городская коллегия адвокатов Спарта • Москва Московская коллегия адвокатов "Территория права" • […]
  • Обложение налогом страховой выплаты Какими налогами облагается страховая выплата Компенсация материального вреда физическому лицу не облагается налогом на доходы физических лиц - НДФЛ. В соответствии со ст. 41 Налогового кодекса доходом признается экономическая выгода в денежной или натуральной форме. При получении […]
  • Прием на работу иностранцев по патенту с 2018 года Трудоустройство иностранных граждан в России в 2018 году Тенденция к привлечению наемных специалистов из зарубежья не теряет своей популярности из года в год. Особенности приема на работу иностранцев прописаны в конкретных законодательных актах, четкое соблюдение которых неукоснительно […]
  • Заявление о привлечении к субсидиарной ответственности руководителя должника Заявление о привлечении к субсидиарной ответственности руководителя должника Образцы документов. Образцы договоров, контрактов, приказов, соглашений. Далее--> Образцы заявлений. Образцы заявлений, обращений, исков, резюме. Далее--> Образцы для налоговой. Образцы деклараций, форм […]
  • Договор купли продажи автомобиля 101 Договор купли продажи автомобиля 101 Договор купли-продажи автомобиля: полезные советы В жизни каждого автомобилиста рано или поздно наступает момент, когда ему приходится прощаться со своим надежным (или не очень надежным, но оттого не менее любимым) «железным конем». В это мгновение […]
  • Растаможка грузов доставка Растаможка грузов из Китая Растаможка грузов из Китая является неотъемлемой частью поставок товаров из Поднебесной. Не понимая специфики прохождения таможни, можно легко допустить ошибку, которая повлечет за собой неизгладимые последствия. Давайте разберемся почему. Таможенное оформление […]
  • Заявление об установлении факта признания отцовства после смерти Заявление об установлении факта признания отцовства после смерти Автострахование Жилищные споры Земельные споры Административное право Участие в долевом строительстве Семейные споры Гражданское право, ГК РФ Защита прав потребителей Трудовые споры, […]