Написать закон изменения напряжения

Содержание страницы:

Законы изменения токов и напряжения

Страницы работы

Содержание работы

1 СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

1.1 Дана схема однофазной цепи переменного тока (рисунок 1). Величина напряжения: U=100 В, величина частоты тока f=400 Гц, величины сопротивлений: R1=150 Ом, R2=25 Ом, величины индуктивностей L1=0,15 Гн, L2=0,4 Гн, величина емкости конденсатора C1=100 мкФ.

Рисунок 1 — Схема однофазной цепи переменного тока

-определить токи в ветвях и общий ток, записать законы их изменения;

-определить напряжения на всех элементах цепи, записать законы их изменения;

-составить баланс мощностей и определить погрешности расчета;

-построить векторную диаграмму.

2.1 Обозначим направления тока в ветвях (рисунок 2). Найдем сопротивление каждого элемента цепи.

Рисунок 2 — Схема цепи с указанием направления тока в ветвях

376,99 Ом;

1005,31 Ом.

3,979 Ом.

2.2 Найдем комплексные сопротивления участков цепи:

Ом;

Ом;

Ом;

Ом;

Ом.

2.3 Представим схему с полными сопротивлениями для каждой ветви (рисунок 3). Укажем направления контурных токов.

Рисунок 3 — Схема цепи с полными сопротивлениями

Полные комплексные сопротивления:

Ом;

Ом;

Ом;

Ом.

2.4 Используем метод контурных токов. По II закону Кирхгофа получаем:

для I контура: ;

для II контура: .

Подставляем значения напряжения и полных комплексных сопротивлений.

;

;

Решаем полученную систему с помощью правила Крамера.

;

;

Получили контурные токи:

А;

А.

2.5 Найдем токи в каждой ветви цепи:

А;

А;

А.

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Закон — изменение — напряжение

Закон изменения напряжения во времени может быть произвольным. Лабораторные исследования усталостной прочности обычно проводят при циклически изменяющихся напряжениях, когда величина напряжения изменяется во времени по синусоидальному закону, а максимальное напряжение в цикле по абсолютной величине равно минимальному и противоположно по знаку. [1]

Закон изменения напряжения на емкости и тока в данной цепи аналогичен закону изменения тока и напряжения uL в контуре г, L, рассмотренном ранее. Поэтому все сказанное о постоянной времени в предыдущем случае сохраняет силу для данного случая. [3]

Закон изменения напряжения и во времени в схеме рис. 213, в соответствует закону изменения скорости о в системе рис. 213, а, если параметры электрической схемы соответствующим образом подобраны. [4]

Закон изменения напряжения описывается уравнением uUm sin ot, отсюда видно, что в нашем примере l / m310 В. [5]

Закон изменения напряжения на емкости и тока в данной цепи аналогичен закону изменения тока и напряжения UL в контуре г, L, рассмотренном ранее. Поэтому все сказанное о постоянной времени в предыдущем случае сохраняет силу для данного случая. [7]

Закон изменения напряжений во времени, как показывают опыты, не влияет заметно на прочность материала, которая в основном зависит от величины и знака максимального ошах и минимального an ] in напряжений. Поэтому, если отах и omin в случаях а, б и в рис. 22.5 одинаковы, то можно практически считать, что все приведенные случаи изменения напряжений равноопасны. [8]

Закон изменения напряжения синусоидального тока , имеющего частоту ы, дается следующей формулой: Е Е0 sin ( ы / tp), где Ео — максимальное напряжение, о — фаза, a t — время. [9]

Закон изменения напряжения синусоидального тока , имеющего частоту со, дается следующей формулой: Е Е0 sin ( со. [10]

Закон изменения напряжения обычного переменного тока ( городского), имеющего 50 периодов в секунду, дается формулой Е Е0 sin 100 nt, где Е0 — максимальное напряжение, а / — время. [11]

Определить закон изменения напряжений при растяжении и сжатии удается с помощью гипотезы плоских сечений ( гипотезы Бернулли), которая заключается в следующем: сечения плоские и перпендикулярные к оси бруса до деформации, остаются плоскими-и перпендикулярными к оси после деформации. [12]

Определить закон изменения напряжения и тока вдоль линий; построить график их изменения для момента времени, когда падающие в кабельной линии волны пробегут 3 / 4 ее длины. [13]

Пока закон изменения напряжения по площади поперечного сечения неизвестен, интегралы в формулах (5.1) нельзя вычислить. [14]

Найти закон изменения напряжения на выходе ОУ в цепях, схемы которых показаны на рис. 9.6, если к их входу в момент / 0 подключается источник напряжения. [15]

6.11. Практическое занятие № 11
Анализ переходных процессов в цепях постоянного тока классическим методом

6.11.1. Вопросы для подготовки к занятиям

  1. Объяснить причины возникновения переходных процессов в электрических цепях.
  2. Сформулировать первый и второй законы коммутации и объяснить их физический смысл.
  3. Что такое «постоянная времени» и что она характеризует?
  4. В чем заключается классический метод анализа переходных процессов?
  5. Как можно получить дифференциальное уравнение электрического состояния линейной электрической цепи при переходном процессе?
  6. Как можно представить полное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
  7. Каков физический смысл принужденной и свободной составляющих решения дифференциального уравнения?
  8. Как определить необходимые для решения дифференциального уравнения начальные условия?
  9. В чем заключается алгоритм расчета переходного процесса классическим способом?

6.11.2. Анализ переходных процессов в цепях с одним и двумя накопителями энергии (реактивными элементами)

Задача 1. Измерение активного сопротивления обмотки трансформатора производится методом амперметра-вольтметра при питании обмотки от источника постоянного напряжения через дополнительный резистор (рис. 5.19). Напряжение U = 100 В. Показания приборов при замкнутом ключе SA: I = 10 А, U = 10 В. Индуктивность обмотки трансформатора L = 100 Гн. Сопротивление вольтметра RV = 5000 Ом. Сопротивление дополнительного резистора RД = 9 Ом.

Определить:

  • Величину активного сопротивления обмотки трансформатора R.
  • Величину напряжения на вольтметре в момент отключения обмотки трансформатора от источника напряжения (в момент размыкания ключа SA).
  • Записать закон изменения тока в обмотке трансформатора после размыкания ключа SA.

Решение. До размыкания ключа SA ток в обмотке трансформатора (при условии RV >> R) I = U / (RД + R) и напряжение на обмотке UV = IА R, откуда R = 1 Ом. В момент отключения обмотки согласно 1-му закону коммутации ток обмотки трансформатора и вольтметра iL(0) = i(0) = IA = 10 A . При этом напряжение на вольтметре UV(0) = iV(0) RV = 50 кВ .

Чтобы не повредить вольтметр, надо предусмотреть возможность его отключения прежде, чем будет разомкнут ключ. Поскольку при разомкнутом ключе принужденная составляющая тока равна нулю, ток в цепи определяется только свободной составляющей и уменьшается по экспоненциальному закону от Imax = IA до нуля:

,

что является решением дифференциального уравнения

.

Задача 2. Почему обмотку возбуждения мощной электрической машины при необходимости быстро снять возбуждение не отключают от источника постоянного напряжения, а замыкают на разрядный резистор (рис. 5.20)?

Ответ. Если просто разомкнуть цепь обмотки возбуждения, то даже при наличии электрической дуги при включении ток очень быстро уменьшается до нуля (скорость уменьшения тока di / dt очень велика). Так как обмотка возбуждения имеет большую индуктивность LВ, в ней возникает весьма значительная э.д.с. самоиндукции eL = -L di / dt, которая может пробить изоляцию на корпус машины или между витками.

Задача 3. Определить емкость С конденсатора из условия, что через время t1 = 20 мс после включения ключа SA (рис. 5.21) напряжение на конденсаторе при заряде его через резистор с сопротивлением R = 3,2 МОм достигает 20 В. Напряжение источника U = 200 В. До подключения конденсатор не был заряжен.

Решение. Выражение для напряжения на конденсаторе во время переходного процесса имеет вид uC(t) = U0(1 — e -t1/(RC) ). Из последнего выражения найдем значение емкости конденсатора С. При t1 = 20 мс, uC(t1) = 20 В. Следовательно, 20 = 200 (1 — e -t1/(RC) ) , откуда e -t1/(RC) = 180 / 200 = 0,9. Тогда -t/(RC) = ln 0,9, т.е. t1 = 0,1; RC = 20 мс.

Таким образом, C = 20·10 3 / (0,1·3,2·10 6 ) = 0,062 мкФ. Выражение для тока в цепи запишем в виде

Подставляя в это выражение значения U0 , R , C и t1, получаем

мкА

Задача 4. Две параллельные ветви подключаются к источнику постоянного напряжения U (рис. 5.22). Определить емкость С конденсатора, при которой сразу после коммутации наступит установившийся режим тока i в неразветвленной части цепи, если L = 0,1 Гн, R1 = R2 = R = 20 Ом.

Ответ. Чтобы ток i в неразветвленной части цепи оставался постоянным, должно выполняться условие i = i1 + i2 = const. Учитывая, что i1 = U / R e -t/τ1 ; i2 = U / R (1 — e -t/τ2 ) можно записать: i = U / R (1 + e -t/τ1 — e -t/τ2 ) = U / R, т.е. τ1 = τ2, RC = L / R, откуда C = L / R 2 = 250 мкФ.

Задача 5. Конденсатор С = 10 мкФ заряжается через резистор, сопротивление которого R = 9 Ом (рис. 5.24), от источника с э.д.с. Е = 100 В и внутренним сопротивлением R0 = 1 Ом (на схеме не показано). Через промежуток времени, равный удвоенной величине постоянной времени цепи зарядки, переключатель П переводится в положение 2. Определить энергию, израсходованную за время зарядки конденсатора.

Решение. Закон изменения напряжения на конденсаторе в процессе зарядки

К моменту переключения рубильника напряжение достигает величины

Закон изменения тока в процессе зарядки конденсатора

.

Энергия, израсходованная в сопротивлении R при зарядке конденсатора:

Задача 6. Рассчитаем переходный процесс в разветвленной цепи постоянного тока (рис. 2.23). Исходные данные: Е = 120 В, L = 500 мГн, С = 1 мкФ, R = 200 Ом, uC(0) = 50 В.

Задачу решаем классическим методом. Электрическое состояние цепи после коммутации описывается дифференциальными уравнениями для мгновенных значений на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа:

Учитывая, что i = C duC / dt, решаем систему уравнений относительно uC и получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

Решение дифференциального уравнения состоит из принужденной и свободной составляющих:

Принужденная составляющая напряжения на емкости uCпр(t) = E, так как после окончания переходного процесса в цепи ток не протекает.

Для нахождения свободной составляющей напряжения на емкости uCсв(t) решим характеристическое уравнение

Подставляя значения, получаем

p1,2 = (-0,25·10 4 ± 0,206·10 4 ), c -1

Следовательно, p1 = -440 c -1 , p2 = 4560 c -1 . Так как корни действительные и различные, свободная составляющая напряжения на емкости

а искомое напряжение uC(t) = 120 + A1 e -440t + A2 e -4560t .

Постоянные интегрирования A1 и А2 находим, исходя из начальных условий и уравнений цепи:

Для момента коммутации можно записать:

,

Продифференцировав выражение для uC(t) и подставив t = 0, будем иметь систему двух алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования A1 и А2:

Таким образом, получаем: А2 = -188,155, А1 = 18,155. Мгновенное значение напряжения на емкости

uC(t) = 120 + 18,155 e -440t — 188,155 e -4560t , B

Для определения тока i1(t) используем известное соотношение

i1(t) = C duC / dt = -7,988·10 -3 e -440t + 0,858 e -4560t ,

Ток i3(t) целесообразно определить из уравнения

i3(t) = (E — uC(t)) / R = -0,091 e -440t + 0,941 e -4560t .

По полученным аналитическим выражениям мгновенных значений токов нетрудно построить временные диаграммы.

Длительность переходного процесса определяется от момента коммутации до момента времени, когда значение тока (напряжения) отличается от установившегося, например, не более чем на 5 %. Это время можно определить по аналитическим выражениям или по временным диаграммам.

6.11.3. Вопросы и задачи для самостоятельного решения

  1. Сформулируйте законы коммутации и объясните их физический смысл.
  2. Катушка с параметрами L и R подключается к источнику постоянного напряжения. Составьте для этой цепи дифференциальное уравнение переходного процесса. Начертите схему.
  3. Для случая, описанного в п. 2, выведите выражение тока для переходного процесса. Начертите соответствующую кривую тока.
  4. Как определить постоянную времени цепи по заданной кривой тока переходного процесса? Объясните смысл и значение постоянной времени.
  5. Через какой промежуток времени переходный процесс в цепи практически заканчивается?
  6. По катушке с параметрами L и R проходит постоянный ток I. Затем катушка замыкается накоротко. Выведите выражение для тока переходного процесса, начертите кривую тока.
  7. Катушка с параметрами L и R подключается к сети с синусоидальным выражением u(t) = Umsin(ωt + ψ) . Составьте для данного случая дифференциальное уравнение переходного процесса. Напишите выражения для вынужденного, свободного и переходного токов.
  8. К сети с постоянным напряжением подключается цепь, состоящая из соединенных последовательно резистора R и конденсатора С. Чему равны напряжения на конденсаторе и ток в переходном процессе? Начертите соответствующие кривые.
  9. Изобразите схему простейшего RC-генератора, кривую изменения его напряжения и объясните работу.
  10. В цепи с последовательным соединением R = 3 Ом и L = 13,7 мГн напряжение источника U = 60 В. Определить:
    • напряжения на R и L (uR и uL) в первый момент после включения рубильника;
    • указанные напряжения uR и uL в установившихся режимах при включенном и выключенном рубильнике;
    • ток в первый момент после включения рубильника;
    • ток в установившихся режимах после включения и выключения рубильника;
  11. В цепи с последовательным соединением R = 6 Ом и L = 24 мГн, U = 120 В. Определить:
    • ток и скорость изменения тока в начальный момент времени переходного процесса при замыкании цепи;
    • постоянную времени цепи, ток и энергию магнитного поля в установившемся режиме;
    • как изменятся величины, определенные в a) и b), если индуктивность цепи уменьшить в 2 раза; напряжение U увеличить в 2 раза; сопротивление цепи увеличить в 2 раза?
    • мгновенные значения переходного тока в моменты времени t1 = 4·10 -3 c, t2 = 8·10 -3 c после замыкания рубильника.
  12. В цепи с последовательным соединением R и C напряжение источника U = 60 В. Определить напряжения uR и uL в первый момент после включения рубильника и в установившихся режимах после включения и после выключения рубильника.
  13. В цепи с R = 6 Ом и С = 398 мкФ напряжение U = 90 В. Определить ток в цепи в первый момент после включения рубильника и в установившихся режимах после включения и после выключения рубильника.
  14. Построить график тока в цепи с R = 10 Ом, L = 0,1 Гн и U = 100 В при отключении цепи от источника и замыкании на разрядное сопротивление Rp: а) Rp = 10 Ом; б) Rp = 0 Ом.
  15. Катушка с параметрами R = 0,5 Ом, L = 0,1 Гн соединена параллельно с резистором Rp = 10 Ом и подключена к источнику постоянного напряжения U = 2 В. Определить ЭДС самоиндукции в катушке в момент отключения цепи от источника.
  16. В цепи (рис. 5.1) Е = 60 В, R0 = 6 Ом, R = 4 Ом. Определить ток, напряжения:
    • в установившемся режиме перед замыканием рубильника;
    • в начальный момент t = 0 переходного режима после размыкания рубильника;
    • в установившемся режиме перед замыканием рубильника;
    • в первый момент переходного режима после размыкания рубильника.
  17. Катушка электромагнитного реле, имеющая сопротивление R = 4 Ом, индуктивность L = 1 Гн, работает при постоянном напряжении U = 24 В. Какое сопротивление следует включить параллельно катушке, чтобы в момент ее отключения э.д.с. самоиндукции превышала рабочее напряжение не более чем в 2 раза?
  18. Как изменится продолжительность переходного процесса (реальная) при зарядке конденсатора, если изменить одну из следующих величин:
    • напряжение источника увеличить в 2 раза;
    • сопротивление R уменьшить в 2 раза;
    • емкость С увеличить в 2 раза?
  19. Определить энергию, выделенную в резисторе, если конденсатор заряжался в течение t = 3 τ3 (по условиям задачи 5.9.19) и скорость изменения напряжения на конденсаторе при зарядке в моменты времени t1 = τ3, t2 = 2 τ3.
  20. Напряжение на зажимах источника в схеме (рис. 5.24) U = 100 В. После окончания процесса зарядки конденсатора переключатель П переведен из положения 1 в нейтральное положение, а затем в положение 2. Найти напряжение между контактами переключателя П (U13 и U) в случаях:
    • переключатель в положении 1;
    • переключатель в нейтральном положении;
    • переключатель в положении 2 – начальный момент переходного процесса;
    • переключатель в положении 2 – зарядка конденсатора кончилась.
  21. Согласно условию задачи 20 после периода зарядки конденсатора t = 2 τ3 переключатель П переведен из положения 1 в положение 2. Определить энергию, израсходованную в цепи за время разрядки конденсатора.

Решение. При зарядке конденсатора энергия, израсходованная в элементе цепи с сопротивлением R, равна убыли энергии электрического поля конденсатора в одно и то же время. Энергия электрического поля к концу зарядки конденсатора

Дж

Вся эта энергия выделяется в виде тепла в сопротивлении при разрядке конденсатора. Таким образом, общая энергия, выделенная в сопротивлении R при зарядке и разрядке, составляет

W = W1 + WЭ = (450 + 375)·10 -4 = 875·10 -4 Дж

  • Для задачи 21:
    • определите энергию, выделенную в резисторе R, если конденсатор заряжался в течение времени t = 3 τ3, а разряжался в течение времени t = 2 τр, после чего цепь разрядки была разомкнута; τ3 и τр — постоянные времени цепи при зарядке и разрядке конденсатора;
    • определить скорость изменения тока при разрядке конденсатора в начальный момент времени и при t = τр.
  • Катушка с параметрами R = 3,14 Ом, L = 0,01 Гн подключается к источнику синусоидального напряжения частотой f = 50 Гц. Какой должна быть начальная фаза напряжения, чтобы сразу после включения наступил принужденный режим?
  • Катушка с параметрами R = 10 Ом, L = 0,05 Гн включается в сеть синусоидального напряжения (U = 115,5 В, f = 50 Гц). Определить величину тока в цепи через полупериод после включения при условии, что в момент включения принужденный ток имел отрицательный максимум.
  • Однофазные электрические цепи переменного тока

    Большинство потребителей электрической энергии работает на переменном токе. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Это объясняется преимуществом производства и распределения этой энергии. Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния, в трехфазных источниках питания получать сразу два напряжения: линейное и фазное. Кроме того, генераторы и двигатели переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.

    В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. В генераторах переменного тока получают ЭДС, изменяющуюся во времени по закону синуса, и тем самым обеспечивают наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок. Кроме того, синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм. При этом для расчета используются законы Ома и Кирхгофа, но записанные в векторной или комплексной форме.

    2.1. Способы представления синусоидальных токов, напряжений, ЭДС

    В современной технике широко используют разнообразные по форме переменные токи и напряжения: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. Значение тока, напряжения, ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно

    i = i(t); u = u(t); e = e(t).

    Токи, напряжения и ЭДС, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения происходят, называют периодом Т.

    Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, то ток называют синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды, то ток несинусоидальный.

    В промышленных масштабах электрическая энергия производится, передается и расходуется потребителями в виде синусоидальных токов, напряжений и ЭДС,

    При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.

    1. Аналитический способ

    В уравнениях (2.1 – 2.3) обозначено:

    Im, Um, Em – амплитуды тока, напряжения, ЭДС;
    значение в скобках – фаза (полная фаза);
    ψi, ψu, ψe – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС;
    ω – циклическая частота, ω = 2πf;
    f – частота, f = 1 / T; Т – период.

    Величины i, Im – измеряются в амперах, величины U, Um, e, Em – в вольтах; величина Т (период) измеряется в секундах (с); частота f – в герцах (Гц), циклическая частота ω имеет размерность рад/с. Значения начальных фаз ψi, ψu, ψe могут измеряться в радианах или градусах. Величина ψi, ψu, ψe зависит от начала отсчета времени t = 0. Положительное значение откладывается влево, отрицательное – вправо.

    2. Временная диаграмма

    Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).

    3. Графоаналитический способ


    Рис. 2.2

    Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.

    Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.

    Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.

    Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.

    В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.

    Пример (рис. 2.3)


    Рис. 2.3

    Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:

    Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):


    Рис. 2.4

    Из равенств (2.4 – 2.5) получаем

    ;
    .

    4. Аналитический метод с использованием комплексных чисел


    Рис. 2.5

    Синусоидальный ток i(t) = Im sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Ím на комплексной плоскости (рис. 2.5)

    где амплитуда тока Im – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

    Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Подробнее этот метод будет рассмотрен ниже.

    2.2. Действующее значение переменного тока и напряжения

    Для сравнения действий постоянного и переменного токов вводят понятие действующее значение переменного тока.

    Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором за время равное одному периоду в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе.

    Определим количество энергии, выделяемой за период в проводнике с сопротивлением R для каждого из токов и приравняем их.

    Для любой из синусоидальных величин получаем

    ; .

    Условились, что все измерительные приборы показывают действующие значения. Например, 220 В – действующее значение, тогда .

    2.3. Элементы электрической цепи синусоидального тока

    Индуктивность

    Вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле, которое характеризуется вектором магнитной индукции В и магнитным потоком Ф:

    .

    Если поле образуют несколько (w) проводников с одинаковым током, то используют понятие потокосцепления ψ

    Отношение потокосцепления к току, который его создает называют индуктивностью катушки

    При изменении во времени потокосцепления согласно закону Фарадея возникает ЭДС самоиндукции

    С учетом соотношения (2.8) для eL получаем

    Эта ЭДС всегда препятствует изменению тока (закон Ленца). Поэтому, чтобы через проводники все время тек ток, необходимо к проводникам прикладывать компенсирующее напряжение

    Сопоставляя уравнения (2.9) и (2.10) получаем

    Это соотношение является аналогом закона Ома для индуктивности. Конструктивно индуктивность выполняется в виде катушки с проводом.

    Условное обозначение индуктивности

    Катушка с проводом кроме свойства создавать магнитное поле обладает активным сопротивлением R.

    Условное обозначение реальной индуктивности.

    Единицей измерения индуктивности является Генри (Гн). Часто используют дробные единицы

    1 мкГн = 10 –6 Гн; 1 мкГн = 10 –3 Гн.

    Все проводники с электрическим зарядом создают электрическое поле. Характеристикой этого поля является разность потенциалов (напряжение). Электрическую емкость определяют отношением заряда проводника к напряжению

    С учетом соотношения

    получаем формулу связи тока с напряжением

    Для удобства ее интегрируют и получают

    uC = 1 / C · ∫ i dt.

    Это соотношение является аналогом закона Ома для емкости.

    Конструктивно емкость выполняется в виде двух проводников разделенных слоем диэлектрика. Форма проводников может быть плоской, трубчатой, шарообразной и др.

    Единицей измерения емкости является фарада:

    1Ф = 1Кл / 1В = 1Кулон / 1Вольт.

    Оказалось, что фарада является большой единицей, например, емкость земного шара равна ≈ 0,7 Ф. Поэтому чаще всего используют дробные значения

    1 пФ = 10 –12 Ф, (пФ – пикофарада);
    1 нФ = 10 –9 Ф, (нФ – нанофарада);
    1 мкФ = 10 –6 Ф, (мкФ – микрофарада).

    Условным обозначением емкости является символ

    2.4. Основные свойства простейших цепей переменного тока

    Простейшие цепи – цепи, содержащие один элемент.

    1. Участок цепи, содержащий активное сопротивление (рис. 2.6).


    Рис. 2.6

    Зададимся изменением тока в резисторе по синусоидальному закону

    Воспользуемся законом Ома для мгновенных значений тока и напряжения

    Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

    Соотношения (2.13) и (2.14) будут равны если будут выполнены условия равенства амплитуд и фаз

    Соотношение (2.15) может быть записано для действующих значений

    Соотношение (2.16) показывает, что фазы напряжения и тока в резисторе совпадают. Графически это представлено на временной диаграмме (рис. 2.7) и на комплексной плоскости (рис. 2.8).


    Рис. 2.7 и 2.8

    2. Участок цепи, содержащий идеальную индуктивность (рис 2.9)


    Рис. 2.9

    Зададим изменение тока в индуктивности по синусоидальному закону

    Используем уравнение связи между током и напряжением в индуктивности

    Заменим cos на sin и получим

    Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

    Соотношения (2.18) и (2.19) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз

    Уравнение (2.20) можно переписать для действующих значений

    Уравнение (2.21) показывает, что фаза тока в индуктивности отстает от фазы напряжения на 90°. Величину XL = ωL в уравнении (2.20) называют индуктивным сопротивлением. Единицей его измерения является Ом. Графически электрические процессы в индуктивности представлены на рис. 2.10, 2.11.

    3. Участок цепи, содержащий ёмкость (рис. 2.12)


    Рис. 2.12

    Зададим изменение тока в емкости по синусоидальному закону

    Используем уравнением связи между током и напряжением в емкости

    uC = 1 / C · ∫ i dt,

    Заменим –cos на sin

    Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

    Соотношения (2.23) и (2.24) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз

    Уравнение (2.25) можно переписать для действующих значений

    Уравнение (2.26) показывает, что фаза напряжения в емкости отстает от фазы тока на 90°. Величину XC = 1 / (ωC) в уравнении (2.25) называют емкостным сопротивлением цепи и измеряют его в Омах. Графически электрические процессы в емкости представлены на рис. 2.13, 2.14.


    Рис. 2.13 и 2.14

    2.5. Сопротивления в цепи переменного тока

    В цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений.

    Активное. Активным называют сопротивление резистора. Условное обозначение

    Единицей измерения сопротивления является Ом. Сопротивление резистора не зависит от частоты.

    Реактивное. В разделе реактивные выделяют три вида сопротивлений: индуктивное xL и емкостное хс и собственно реактивное. Для индуктивного сопротивления выше была получена формула XL = ωL. Единицей измерения индуктивного сопротивления также является Ом. Величина xL линейно зависит от частоты.

    Для емкостного сопротивления выше была получена формула XC = 1 / ωC. Единицей измерения емкостного сопротивления является Ом. Величина хс зависит от частоты по обратно-пропорциональному закону. Просто реактивным сопротивлением цепи называют величину X = XL — XC.

    Полное сопротивление. Полным сопротивлением цепи называют величину

    .

    Из этого соотношения следует, что сопротивления Z, R и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X – катеты. Для удобства в этом треугольнике рассматривают угол φ, который определяют уравнением

    и называют углом сдвига фаз. С учетом него можно дать дополнительные связи

    2.6. Мощности в цепях переменного тока

    По аналогии с мощностью в цепях постоянного тока P = U I, в цепях переменного тока рассматривают мгновенную мощность p = u i. Для упрощения рассмотрим мгновенную мощность в каждом из элементов R, L и С отдельно.

    Элемент R (резистор)

    Зададим напряжение и ток в виде соотношений

    Известно, что для резистора ψu = ψi, тогда для р получим

    Из уравнения (2.32) видно, что мгновенная мощность всегда больше нуля и изменяется во времени. В таких случаях принять рассматривать среднюю за период Т мощность

    .

    Если записать Um и Im через действующие значения U и I: , , то получим

    По форме уравнение (2.34) совпадает с мощностью на постоянном токе. Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).

    Элемент L (индуктивность)

    Известно, что в индуктивности соотношение фаз ψu = ψi + 90°. Для мгновенной мощности имеет

    .

    Усредняя уравнение (2.35) по времени за период Т получим

    .

    Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину QL равную максимальному значению рL

    и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение (2.36) можно записать через действующие значения U и I и используя формулу UL = I XL получим

    Элемент С (ёмкость)

    Известно, что в емкости соотношение фаз ψu = ψi — 90°. Для мгновенной мощности получаем

    Среднее значение за период здесь также равно нулю. По аналогии с уравнением (2.36) вводят величину QC = I 2 XC, которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.

    Если в цепи присутствуют элементы R, L и С, то активная и реактивная мощности определяются уравнениями

    где φ – угол сдвига фаз.

    Вводят понятие полной мощности цепи

    .

    С учетом уравнений (2.37) и (2.39), (2.40) можно записать в виде

    Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер.

    2.7. Цепь с последовательным соединением элементов

    Проведем анализ работы электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, С.

    Положим, что в этой задаче заданы величины R, L, С, частота f, напряжение U. Требуется определить ток в цепи и напряжение на элементах цепи. Из свойства последовательного соединения следует, что ток во всех элементах цепи одинаковый. Задача разбивается на ряд этапов.

    1. Определение сопротивлений.

    Реактивные сопротивления элементов L и С находим по формулам

    Полное сопротивление цепи равно

    ,

    угол сдвига фаз равен

    2. Нахождение тока. Ток в цепи находится по закону Ома

    Фазы тока и напряжения отличаются на угол φ.

    3. Расчет напряжений на элементах. Напряжения на элементах определяются по формулам

    Для напряжений выполняется второй закон Кирхгофа в векторной форме.

    4. Анализ расчетных данных. В зависимости от величин L и С в формуле (2.42) возможны следующие варианты: XL > XC; XL XC угол φ > 0, UL > UC. Ток отстает от напряжения на угол φ. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.16).

    Для варианта XL 2 обозначена величина названная активной проводимостью первой ветви. Аналогичным образом получим

    , (2.48)

    где g2 = R2 / Z2 2 ; а величину g = g1 + g2 называют активной проводимостью всей цепи.

    Используя уравнение (2.31) запишем реактивные составляющие токов

    ,

    ,

    где b1 и b2 – реактивные проводимости ветвей b1 = XL / Z1 2 , b2 = XC / Z2 2 . Для реактивной проводимости всей цепи имеем

    В этом уравнении взят знак минус, из тех же соображений, как и в уравнении (2.44). Величина тока I и угол φ находятся из соотношений (2.45) и (2.46).

    4. Анализ расчетных данных.

    В зависимости от соотношения реактивных проводимостей b1 и b2 возможны три варианта: b1 > b2; b1 b2 имеем I > I, φ > 0. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма изображена на рис. 2.21.

    Для больших значений Pн величина емкости C может оказаться слишком большой, что технически трудно реализовать. В этом случае используют синхронные компенсирующие машины.

    2.10. Комплексный (символический) метод расчета цепей синусоидального тока

    Все параметры цепи представляются в комплексной форме.

    – комплексное мгновенное значение;
    – комплексное действующее значение силы тока;
    – комплексное действующее значение напряжения.

    Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

    Достоинство комплексного метода: при его применении в анализе цепей переменного тока можно применять все известные методы анализа постоянного тока.

    Под законом Ома в комплексной форме понимают:

    Комплексное сопротивление участка цепи представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует величине активного сопротивления, а коэффициент при мнимой части – реактивному сопротивлению.

    По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи:

    R + j X — активно-индуктивное сопротивление;
    R – j X — активно-емкостное.

    Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

    Алгебраическая сумма комплексных действующих значений токов в узле равна нулю.

    Второй закон Кирхгофа в комплексной форме

    В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных действующих значений ЭДС равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений в нём.

    .

    При использовании символического метода можно пользоваться понятиями мощностей. Но в комплексной форме можно записать только полную мощность:

    где Ï — комплексно-сопряженный ток

    S cos φ ± j S sin φ = P ± j Q.

    Полная мощность в комплексной форме представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует активной мощности рассматриваемого участка, а коэффициент при мнимой части – реактивной мощности участка. Значение знака перед мнимой частью: “+” означает, что напряжение опережает ток, нагрузка – активно-индуктивная; “–” означает, что нагрузка — активно-емкостная.

    Еще по теме:

    • Увольнение при непрохождении испытательного срока Увольнение не прошедшего испытательный срок В ст. 71 ТК РФ сказано, что если работник не прошёл испытательный срок, работодатель может его уволить. Однако есть несколько особенностей увольнения на испытательном сроке по инициативе работодателя. Работодатель обязан подтвердить […]
    • Соликамск материнский капитал Материнский капитал в Соликамске Материнский капитал – это мера государственной поддержки, которая предусмотрена семьям у которых появился второй и последующий ребенок. Размер материнского капитала в 2018, 2019, 2020 годах будет составлять 453 026 рублей. Маткапитал можно получить только […]
    • Что делать если штраф оплачен а в базе нет Оплаченный штраф числится неоплаченным Многие граждане сегодня ищут ответ на вопрос - что делать, если штраф ГИБДД продолжает числиться непогашенным после оплаты? При отсутствии в базе данных информации об оплате добросовестный нарушитель может попасть в весьма неприятные ситуации, […]
    • Реестр рабочих программ по предметам фгос ооо Реестр рабочих программ по предметам фгос ооо 8(495)912-63-37 [email protected] Реестр примерных основных образовательных программ: Примерная основная образовательная программа среднего общего образования Реестр примерных программ является государственной информационной […]
    • Деловой телефон и правила разговора Правила делового общения по телефону – телефонные переговоры Бытует мнение, что телефонные переговоры экономят время. Однако подсчеты показали, что у руководителей телефонные разговоры в течение рабочего дня занимают от 3 до 4,5 часа, а у сотрудников — 2–2,5 часа. Выявлены недостатки […]
    • Вакансии юрист балахна Юристы в Балахне 8 специалистов Цены: от 300 до 1000 / усл. Цены: от 900 до 11 000 / усл. Цены: от 1000 до 3000 / усл. Цены: от 1000 до 5000 / усл. Цены: от 3499 до 20 000 / усл. Юристы — широкая база специалистов Проверенные отзывы о специалистах на PROFI.RU Юристы в Балахне от […]
    • Госпошлина при разделе земельного участка Письмо Департамента налоговой и таможенно-тарифной политики Минфина России от 20 августа 2015 г. N 03-05-06-03/48048 Об уплате государственной пошлины за государственную регистрацию права собственности на земельные участки, образуемые в результате раздела, а также перехода права другому […]
    • Правила по русскому зыку Русский язык Части речи Орфография. Правописание согласных Правописание гласных Частицы и союзы Пунктуация Грамматика Наш сайт предназначен тем, кто решил избавиться от ошибок в письменной речи или кто хочет подготовиться к государственному экзамену. Наш ресурс предназначен для тех […]