Производнаяосновные правила дифференцирования

Содержание страницы:

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций».

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое uv , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций».

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 7. Найти производную функции

.

Пример 8. Найти производную функции

.

Продолжаем искать производные вместе

Пример 9. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных — под номером 3), получим

.

Пример 10. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 11. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 12.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных — номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель — также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя — это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного — в статьях «Производная произведения и частного функций» и «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Правила дифференцирования. Производная произведения функций.

Дифференцирование – определение производных и дифференциалов всех порядков от функции одной переменной и частных производных и дифференциалов, кроме того, полных дифференциалов от функций большинства переменных.

Доказательство правила дифференцирования произведения 2-х функций:

Записываем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Учитываем, что:

и

(приращение функции стремится к 0 при приращении аргумента, который стремится к 0).

Теперь рассмотрим на нескольких примерах вышеуказанное правило.

.

В этом примере . Применим правило производной произведения:

Смотрим таблицу производных основных элементарных функций и находим решение:

Найдем производную функции:

.

В данном примере . Значит:

Теперь посмотрим на вариант определения производной произведения 3-х функций. По такой системе дифференцируют произведение 4-х, и 5-ти, и 25-ти функций.

.

Исходим из правила дифференцирования произведения 2-х функций. Функцией f(x) считаем произведение (1+x)sinx, а функцией g(x) возьмем lnx:

Что бы определить снова применяем правило производной произведения:

Воспользуемся правилом производной суммы и таблицей производных:

Подставляем результат, который мы получили:

Из выше описанного видно, иногда нужно применять не только одно правило дифференцирования на одном примере. Тут важно делать все последовательно и внимательно.

Найдем производную функции:

.

Функция является разностью выражений и , значит:

В первом выражении выносим 2-йку за знак производной, а во 2-м выражении используем правило дифференцирования произведения:

Производнаяосновные правила дифференцирования

Правила дифференцирования

Наиболее привлекательными направлениями дифференциации продукции являются те, которые связаны с трудностью имитации товара и значительными затратами на нее (технические новшества, особенно защищенные патентами, широкий спектр услуг в банковском деле, высокое качество продукции). В этом случае ключевым активом фирмы становятся ноу-хау, недоступные соперникам. Как правило, дифференцированные товары продаются по более высокой цене. Однако для того чтобы покупатели реально воспринимали ценность дифференцированного товара, необходимы определенные рыночные сигналы. Следовательно, стратегия дифференциации предполагает прежде всего наличие ноу-хау в области маркетинга, она требует значительных вложений в функциональный маркетинг. Это может быть интенсивная реклама, привлекательная упаковка, конструктивные особенности и удобство интерьеров зданий, где совершается покупка, распространяемая молвой добрая репутация фирмы, солидный стаж ее работы и т. д. [c.108]

В каждом коммерческом банке важным инструментом кредитного мониторинга является кредитный архив, где сосредотачивается вся необходимая документация финансовые отчеты, деловая переписка, аналитические обзоры кредитоспособности, залоговые документы и т.д. Кредитный мониторинг также предполагает постоянный контроль кредитного портфеля, при этом применяется, как правило, дифференцированный подход, заключающийся в том, что наиболее надежные кредиты подвергаются проверке один раз в год, в то время как проблемные ссуды находятся под постоянным контролем. [c.416]

Очень важный результат теории дифференциалов — так называемое цепное правило, или правило последовательного дифференцирования, или правило дифференцирования сложной функции. В одномерном случае цепное правило дает формулу для дифференцирования сложной функции h = g о /, определяемой как результат последовательного действия двух функций [c.130]

Но сначала перечислим основные правила дифференцирования. [c.196]

Можно легко проверить, что выполняются следующие правила дифференцирования, функции, a OL — вещественная константа, тогда [c.196]

Замечание 2. Важно отметить, что хотя исходная матрица XQ является симметрической, возмущения не предполагаются симметрическими. Для симметрических возмущений применение теоремы 2.2 и правил дифференцирования сложной функции дает [c.211]

Используя правило дифференцирования обратной функции, получаем [c.121]

Так же и с операцией дифференцирования. Используя определение производной, были доказаны правила дифференцирования и выведены формулы для вычисления производных основных элементарных функций. Определение производной понадобится также и в дальнейшем при доказательстве некоторых теорем. Однако в практических вычислениях оно не нужно. Для вычисления производной любой элементарной функции достаточно воспользоваться уже доказанными формулами. Для лучшего запоминания ниже приводится сводка всех основных формул. Будем пользоваться этой сводкой формул как таблицей умножения. Так же как и таблицу умножения, ее следует запомнить. [c.122]

В верхней части таблицы приведены производные основных элементарных функций, в нижней — правила дифференцирования. Среди формул есть сходные пары, которые легче запомнить вместе. Поэтому все формулы в таблице приводятся парами. [c.122]

Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что другая переменная постоянна, то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных двух переменных. [c.286]

Эта формула выражает правило дифференцирования неявной функции у от переменной х. [c.299]

Что произойдет, если функцию полезности и(Х) заменить равносильной ей функцией ц (Х) Отношение предпочтения сохранится, если и Х) = = ф (и(Х)), где (р (и) — монотонно возрастающая функция. Правило дифференцирования сложной функция позволяет утверждать, что [c.600]

Предельные размеры повышения расценки на один процент увеличения норм выработки должны устанавливаться, как правило, дифференцированно, с учетом вида работы, а также в зависимости от того, соответствуют ли вводимые нормы уровню межотраслевых или отраслевых нормативов или превышают их . [c.65]

Теперь, рассмотрев основные принципы дифференцирования, мы можем вывести основные правила дифференцирования. [c.132]

Примечание сначала повторите правила дифференцирования степенных и логарифмических функций. [c.166]

Среднеевропейский уровень НДС колеблется в пределах 12— 20%. Однако он, как правило, дифференцирован. Например, в Италии действуют четыре ставки нормальная — 19%, две пониженные — 4 и 9%, повышенная на предметы роскоши — 35%. [c.215]

Для оператора d/dt справедливы обычные правила дифференцирования сумм и произведений. При дифференцировании скалярных сверток можно. применять как операторы d/dt, так и d/dt [c.39]

Для ответа на первый вопрос мы рассмотрим определение и геометрический смысл производной, формулы для нахождения производных нескольких простейших (элементарных) функций и правила дифференцирования, позволяющие находить производные от любых комбинаций элементарных функций. [c.48]

Правила дифференцирования. Определение производной редко используется для практического вычисления производных функций. Если функция, производную которой нужно найти, представляет из себя комбинацию элементарных функций, то для вычисления производных применяются таблицы производных элементарных функций и правила дифференцирования, важнейшие из которых приведены ниже. [c.53]

Правило дифференцирования произведения функций (и(х) = u (x)v(x) + u(x)v (x). [c.53]

Правило дифференцирования частного функций [c.53]

Правило дифференцирования сложной функции (Дн(х))) />( )) =/ [c.53]

Правило дифференцирования обратной функции (х(у)) у х— [c.53]

Правило дифференцирования неявной функции 0 = Р(х,у) [c.53]

Правила дифференцирования суммы произведения и частного [c.100]

Одним из признанных в Японии методов управления женским персоналом является частое и прямое выявление точек зрения на собственный труд, отношения на производстве. Весь персонал компаний участвует в подобных опросах, как правило, один раз в год, но женщинам предлагается высказываться чаще, причем по специфическим вопросам их труда, занятости. Помимо учета этих мнений, специалисты по управлению кадрами должны обращать особое внимание на учет текущих семейных обстоятельств, склад личности, запросы, чтобы организовать дифференцированные режимы рабочего [c.62]

Укрепление хозрасчетных отношений тесно связано с дальнейшим развитием инициативы трудовых коллективов, расширением прав объединений и предприятий. Формирование фондов экономического стимулирования осуществляется по стабильным нормативам, дифференцированным по годам пятилетки. При этом право на повышенные нормативы образования фондов получают объединения и предприятия, добившиеся значительного увеличения выпуска новой, высокоэффективной продукции производственно-технического назначения и новых высококачественных товаров народного потребления. Средства этих фондов должны использоваться только по целевому назначению остатки их переходят на следующий год и изъятию не подлежат. [c.245]

Правило изображения дифференцированно зависимых работ. Пели для начала каких-либо работ (например, работ 3—Ь п 3 —(>, рис. П, ж) нужны результаты всех работ, входящих н начальное событие Л, а для других (например, работы 3—4) — только части п. них (например, результаты работы 1—13), то в сеть нужно внести дополнительное событие — 3, отражающее итоги работы 1—3, и соединить новое событие 3 с прежним 3 фиктивной работой 3 15 (рис, (), () [c.89]

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ [derivation] — операция определения производной рассматриваемой функции. Напр., производная линейной функции (Ьх + а У = Ъ, т.е. является константой производная степенной функции [х») -= ах» 1 (>0), т.е. дифференцирование степенной функции уменьшает ее степень на единицу или дифференцирование логарифмической функции (logoJt) = 1/х log/ (0 0), в частности (In x) = Их. Для Д.ф., представляющей собой комбинацию элементарных функций, применяются специальные правила напр., производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций, постоянный множитель выносится за знак производной для дифференцирования произведения двух функций вычисляется сумма из двух произведений (производная первой функции на вторую функцию, плюс первая функция на производную второй функции — (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + + u(x)v(x) ). Соответственно, существуют правила дифференцирования сложной функции, частного двух функций, обратной функции, логарифмических функций, правила вычисления производных высших порядков, а также правила Д.ф. многих переменных. [c.92]

Деление норм на дифференцированные и укрупненные определяется сложностью их структурного строения. Дифференцированные нормы устанавливают на одну рабочую операцию, например норма времени на токарную обработку валика, на электронаплавку изношенной поверхности детали и т. п. Как правило, дифференцированные нормы применяют в заготовительно-обраба-тывающих цехах. [c.122]

Определение производной и ее геометрический смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирова- ре основных элементарных функций линейной, степенной, показательной и логарифмической функций [c.51]

Правая и левая производные. 99 5.1 5 Уравнение касательной к графику функции в да ной точке О 516. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного 100 517 Таблица роиэводных простейших элементарных функции 101 [c.5]

Р.е. может быть дифференцирован по видам валют рынок евродолларов (доллары на счетах банков-нерезидентов в других странах), рынок евромарок (марки ФРГ на счетах банков-нерезидентов в других странах Западной Европы, а также в США, Японии и др.), рынок евроиен, еврофранков и т.д. Р.е. является универсальным международным рынком, сочетающим элементы валютных и кредитных операций, поскольку евровалюты перемещаются через государственные границы без обязательной их конверсии в национальную валюту, в связи с чем они не подпадают под национальные правила о валютном контроле. Кроме того, депозитно-ссудные операции на Р.е. позволяют переводить денежные средства из одной валюты в другую независимо от того, в банке какой страны открыты счета. [c.316]

Потери электроэнергии в заводских сетях и трансформаторах определяют по установленному для данных условий проценту. Тепловые потери в паро- и водопроводах целесообразно принимать по месячным нормам вне зависимости от размеров потребления теплоты. Как правило, их рассчитывают по дифференцированным месячным нор,мам, устанавливаемым в зависимости от средней многолетней температуры наружного воздуха в соответствующем месяце. [c.309]

Производнаяосновные правила дифференцирования

Ключевые слова: дифференцируемая функция, свойство предела произведения, дифференцируема в точке

Если функции f и g дифференцируемы в точке $$x_<0>$$ то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если $$g'(x_<0>) \ne 0$$) этих функций, причем

Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: (Cf) = Cf. В частности, С’=0

Если f дифференцируема,
то $$f^$$ где $$n \in N$$ также дифференцируема, причем $$(f^)’= nf^f’$$

Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки $$x_<0>$$ причем $$f'(x_<0>) \ne 0$$,
то функция x = $$\phi$$ (y),обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке $$y_<0>$$ = f ($$x_<0>$$), причем $$\phi'(x_<0>) = \frac<1>)>$$.

Дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид $$dy = f'(x)dx$$ как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.

Пусть в окрестности точки t 0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна.
Пусть в этой окрестности существуют производные $$x'(t_<0>) \ne 0$$ и $$y'(t_<0>)$$
Тогда сложная функция y = y ( t ( x )), где t ( x ) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x , причем $$ = \frac$$.

Еще по теме:

  • Таджикистан Программа переселения Навигационные полоски «Нужно будет обеспечить миграционный приток на уровне порядка 300 тысяч человек в год. В первую очередь за счет привлечения на постоянное жительство в Россию наших соотечественников, проживающих в ближнем и дальнем зарубежье, квалифицированных иностранных […]
  • Кто имеет право на отдых в санатории Кто имеет право на получение санаторной путевки в санаторно-курортные организации системы МВД РФ Право на получение путевки в санаторно-курортные организации системы МВД РФ регламентируется Распоряжением МВД РФ от 09.08.2012 года №1/7007. В соответствии с Распоряжением МВД РФ от […]
  • Расписка в получении аванса денег за квартиру Расписка в получении денег за квартиру При покупке-продаже квартиры, Расписка в получении денег, несмотря на свое «несерьезное» название – очень полезный (для Покупателя) документ. Дело в том, что даже если в Откроется в новой вкладке.">Договоре купли-продажи квартиры (ДКП) есть фраза о […]
  • Как отозвать работника из отпуска приказ Отзыв из отпуска по производственной необходимости Отзыв из отпуска по производственной необходимости инициируется руководством компании, но только с согласия самого работника. Если такое согласие получено, то процедура отзыва подлежит официальному оформлению, что в дальнейшем поможет […]
  • Спор о границе соседних участков Вашанова Оксана Вячеславовна Актуальность споров о границах земельных участков обусловлена тем, что до введения в действие Земельного кодекса РФ земельные участки часто предоставлялись без определения границ. В результате чего в государственном кадастре зачастую отсутствуют сведения о […]
  • Бланк заявления на трактор Как составить договор купли-продажи трактора (образец)? Договор купли-продажи трактора (образец) поможет обывателю максимально ускорить процесс оформления сделки по покупке-продаже специализированного транспортного средства. В этой статье мы опишем особенности заключения договора […]
  • Чистка реестра лучшая Лучшая программа для очистки + оптимизации + ускорения компьютера. Практический опыт Здравствуйте. Каждый пользователь компьютера мечтает чтобы его «машинка» работала быстро и без ошибок. Но, к сожалению, мечты сбываются не всегда… Чаще всего, приходится сталкиваться с тормозами, […]
  • Расписка на выплату денежных средств Долговая расписка – образец написания, форма, бланк (скачать бесплатно) Долговая расписка (образец) применяется в гражданско-правовых отношениях, связанных с получением денежных средств одной стороной и передачей их другой, как во исполнение какого-либо обязательства, так и в […]