Содержание страницы:
Правило континуума
Определение 2. Множество Е действительных чисел называют также числовым континуумома его мощность — мощностью континуума.
Теорема (Кантор). 
Теорема утверждает, что бесконечное множество Е имеет мощность большую, чем бесконечное множество 
Покажем, что уже множество точек отрезка [0,1] несчетно.
Предположим, что оно счетно, т. е. может быть записано в виде последовательности 
Возьмем точку 
и на отрезке 
фиксируем отрезок ненулевой длины, не содержащий точку 
. В отрезке 
строим отрезок 12, не содержащий 
и если уже построен отрезок 
то, поскольку 
в нем строим отрезок 
так, что 
По лемме о вложенных отрезках найдется точка с, принадлежащая всем отрезкам 
Но эта точка отрезка 
по построению не может совпадать ни с одной из точек последовательности 
Следствия. 
и существуют иррациональные числа.
2) Существуют трансцендентные числа, поскольку множество алгебраических чисел счетно.
(После решения задачи 3, помещенной в конце параграфа, читатель, наверное, захочет переиначить последнее утверждение и сформулировать его так: «В множестве действительных чисел иногда встречаются также и алгебраические 
Уже на заре теории множеств возник вопрос о том, существуют ли множества промежуточной мощности между счетными множествами и множествами мощности континуума, и было высказано предположение, называемое гипотезой континуума, что промежуточные мощности отсутствуют.
Вопрос оказался глубоко затрагивающим основания математики. Он был окончательно решен в 1963 г. современным американским математиком П. Коэном. Коэн доказал неразрешимость гипотезы континуума, показав, что и она сама, и ее отрицание порознь не противоречат принятой в теории множеств аксиоматике, а потому гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках этой аксиоматики, — ситуация, вполне аналогичная независимости пятого постулата Евклида о параллельных от остальных аксиом геометрии.
Структура и видовой состав биоценозов и сообществ
Тинемана Фитоцеиологические принципы П. Жаккара Правило приспособления (специализации) к экстремальным условиям P. Kporepyca Принцип плотной упаковки Р. Макартура Правило обязательности заполнения экологических ниш Правило экотона, или краевого эффекта
Прежде чем говорить о структуре биоценоза, следует выяснить степень реальности образования таких системных совокупностей. В начале этого раздела уже упоминалась парадигма континуума. Она была сформулирована в виде принципа континуума, или принципа Раменского — Глизона (А. Г. Раменский, 1924; Г. А. Глизон, 1926): широкое перекрытие экологических амплитуд и рассосредоточенность центров распределения популяций вдоль градиента среды приводят к плавному переходу одного сообщества в другое, поэтому, как правило, не образуется строго фиксированных сообществ. Помимо уже упомянутого различия в исследуемом материале, парадигма континуума вошла в противоречие с парадигмой организма в силу того, что термин «сообщество» крайне неопределен и, как уже говорилось в сноске, не идентичен термину «биоценоз». Сообщество — это как бы объединение «по горизонтали», а биоценоз, имеющий эдификаторов, скорее объединение «по вертикали», иерархическое, хотя и сообщество, как синузия, сложено индивидуальными консор- циями, и из них же состоит биоценоз. Как кажется, между парадигмами континуума и организма нет противоречий — они дополняют друг друга.
В рамках организмической парадигмы принципу континуума следует противопоставить принцип биоценотинеской прерывности: виды формируют экологически определенные системные совокупности — сообщества и биоценозы,— отличающиеся от соседних, хотя и сравнительно постепенно в них переходящие. Единство прерывности и непрерывности биотического покрова, «живого вещества» по В. И. Вернадскому, кажется настолько очевидным, что едва ли заслуживает более подробного анализа.
Распространение принципа действия законов минимума Ю. Либиха и близких к ним (разд. 3.5.2) на сообщества и биоценозы привело к формулированию закона действия факторов А. Тинемана (1926): состав сообщества и биоценоза по видам и численности особей в них определяется тем фактором среды, который оказывается в пессимуме (наиболее неблагоприятен) для данного сообщества или биоценоза. Селективное действие биотического ограничивающего фактора может преломляться через биосреды, поэтому действие закона А. Тинемана может быть не столь прямолинейно, как это следует из его формулировки.
Тот же А. Тинеман в 1939 г. сформулировал широко известные бноце- нотические принципы: принцип (правило) разнообразия условий биотопа— чем разнообразнее условия жизни в рамках биотопа, тем больше число видов в заселяющем его биоценозе; и принцип отклонения условий существования от нормы — чем больше отклонения условий существования от оптимума (нормы) в пределах биотопа, тем беднее видами становится заселяющий его биоценоз и тем относительно больше особей имеет каждый присутствующий вид. Число особей внутри вида и число видов в ценозе обратно пропорциональны. Во всем этом нетрудно убедиться, сравнивая ценозы тундры и тропических лесов.
Исходя из биоценотических принципов А. Тинемана, можно сделать вывод, что в оптимальных условиях внутрибиотическое межвидовое напряжение (конкуренция между видами) усиливается: каждый вид действует на другой как лимитирующий (или управляющий) фактор, В неблагоприятных условиях или условиях экологической монотонности число видов мало, и межвидовая конкуренция снижается. Эти взаимоотношения привлекли пристальное внимание биоэкологов. Были предложены индекс Фишера — Корбета — Вильямса (соотношения между числом видов и особей в ценозах) и уравнение Шеннона для вычисления степени упорядо-
ценности системы, или ее информированности. Расшифровка этих показателей не входит в наши планы (см. Ю. Одум. Основы экологии. М.: Мир, 1975. С. 186—187; или И. И. Дедю. Экологический энциклопедический словарь.
Континуум-гипотеза
В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом:
Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.
Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Давид Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.
В 1940 году Курт Гёдель доказал в предположении непротиворечивости системы аксиом Цермело-Френкеля (ZF), что, исходя из аксиом теории множеств вместе с аксиомой выбора, континуум-гипотезу нельзя опровергнуть; а в 1963 году американский математик Пол Коэн доказал (также в предположении непротиворечивости ZF), что континуум-гипотезу нельзя доказать, исходя из тех же аксиом. Таким образом, континуум-гипотеза не зависит от аксиом ZF.
Разделение по отрицанию или подтверждению континуум-гипотезы привело к созданию так называемой канторовской теории множеств, которая считает, что мощность множества вещественных чисел или континуума $ \mathbf=2^ <\aleph_0>$ равна $ \aleph_1 $ и неканторовской теории множеств, в которой это неверно. В последнем случае можно доказать, что между c и $ \aleph_1 $ заключено бесконечно много кардинальных чисел.
Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что для любого бесконечного множества S не существует таких множеств, кардинальное число которых больше, чем у S, но меньше, чем у множества всех его подмножеств $ 2^S $ .
Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело-Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 г. и Шпеккер в 1952 г., из неё следует аксиома выбора.
Эта статья содержит материал из статьи Континуум-гипотеза русской Википедии.
Рецензия на фильм «Континуум»
Неудачная попытка снять молодежный фантастический фильм о путешествиях в ближайшее прошлое.
Копаясь в мастерской давно умершего отца, старшеклассник-изобретатель Дэвид (Джонни Уэстон) находит чертежи и запчасти, которые оказываются деталями машины времени. Когда парень с друзьями собирает и настраивает устройство, он обнаруживает, что оно может перемещать лишь на несколько дней в прошлое. Этого, однако, оказывается достаточно, чтобы выиграть в лотерею, исправить оценки, спасти семью от банкротства и начать получать удовольствие от жизни. Но когда Дэвид совершенствует отцовскую машину и приятели перемещаются на несколько месяцев в прошлое, чтобы посетить рок-фестиваль, дает о себе знать «эффект бабочки», и ребята начинают сомневаться, что использование машины времени для собственного развлечения стоит тех перемен, которые они привносят в мир.
Кадр из фильма «Континуум»
Каков первый закон клуба авторов фильмов о машине времени? Правильно – не обсуждать то, как эта самая машина устроена. В крайнем случае, если сюжет вращается вокруг ремонта сломавшегося устройства, можно ляпнуть что-нибудь про «джигаватты энергии» и про ядерное топливо, но на этом нужно остановиться. Потому что сказать что-то умное про конструкцию машины времени вы не можете по определению (вы же ее не изобрели!), а нетерпеливые зрители умрут со скуки, пока персонажи будут нести «техночушь» про провода, конденсаторы, микросхемы, мониторы, интерфейсы и другие страшные слова, которые вы как сценарист едва понимаете.
Кадр из фильма «Континуум»
Казалось бы, это самоочевидно. Меньше слов про устройство, больше демонстраций его использования и последствий прыжков по континууму. Однако фильм режиссера-дебютанта Дина Израэлита (двоюродного брата постановщика недавних «Черепашек-ниндзя» Джонатана Либесмана) это правило нарушает. В его картине главные герои (трое парней и сестра главного героя, позднее к ним присоединяется еще одна юная красотка) сперва находят чертежи машины времени, затем их изучают, потом закупаются деталями, собирают прототип, экспериментируют с разными батареями, находят подходящее решение, перемещают в прошлое игрушечную машинку, опробуют прибор на людях… Уже прошло более получаса, а фильм – в смысле драматичное повествование – еще даже не начался. И он начинается лишь еще через 40 минут, когда в картине впервые случается что-то мало-мальски драматичное и в счастливой и беззаботной дружбе героев появляется трещина. Ну, как трещина… Трещинка. Но все лучше, чем ничего. Потому что до этого момента фильм смотрится как помесь «Разрушителей мифов» («Подключим эту батарею и посмотрим, не взорвется ли она!») и очень, очень примитивной и легковесной школьной комедии («Она облила тебя газировкой? Мы отправим тебя в прошлое, и ты промочишь всю ее одежду! То-то будет весело!»).
Кадр из фильма «Континуум»
Итак, более чем через час действия в фильме назревает конфликт. Выливается ли он в эпическое сражение, как в родственной по духу и стилю «Хронике» Джоша Транка, или в хоть какое-то противостояние? Держите карман шире. Все ребята в картине – такие лапочки, что кот Леопольд в сравнении с ними кажется воинственным Атиллой. Как только они обнаруживают, что у их действий есть неприятные последствия, они бросаются заглаживать свою вину. А когда они окончательно осознают, что их попытки исправить положение только усугубляют «эффект бабочки», они решают отказаться от машины времени. Вот так просто – без войны и даже без долгих споров. Правда, трещина между Дэвидом и его друзьями углубляется, потому что парень берет всю ответственность за операцию «Отделаться от машины времени» на себя. Но это незначительный нюанс – конфликт хорошего с лучшим, а не подлинно драматичная история.
Кадр из фильма «Континуум»
Кроме того, печальные последствия экспериментов ребят оказываются, с точки зрения зрителей, абстрактными и декларативными. Там упал самолет, тут не выиграла команда… Это не те события, которые по-настоящему трогают публику. А единственное существенное исключение из правила нарушает физический закон, который сами авторы фильма и придумали (не будем вдаваться в подробности, чтобы окончательно не заспойлерить картину).
Кадр из фильма «Континуум»
Может, стоит забыть про отсутствие интересных сюжетных ходов и едва намеченный драматизм и смотреть «Континуум» как молодежный ромком о подростках, которые наслаждаются путешествиями во времени и между делом заводят роман? Можно, но не нужно. Потому что, хотя в картине есть забавные сцены, это все же не комедия, а наслаждение от путешествий во времени испаряется, как только странствия по континууму начинают создавать проблемы. Роман же между Дэвидом и его смазливой одноклассницей (София Блэк-Д’Элия из «Сплетницы» и «Молокососов») большую часть времени бродит в трех соснах и оттесняется на второй план другими событиями. Чувствуется, что этот сюжет в фильме для проформы. Равно как и сестра Дэвида, которая нужна картине лишь для того, чтобы иногда раздеваться до бикини и держать ручную камеру.
Кадр из фильма «Континуум»
Ах да, камера. «Континуум» снят в стиле «найденная пленка» – то есть на любительскую камеру, которую держит один из персонажей (обычно, но не всегда это сестра Дэвида). Практика показывает, что этот стиль лучше всего подходит для хорроров, поскольку позволяет поставить зрителей на место персонажа в гуще жутких событий. «Континуум» же похож на хоррор не больше, чем «Кин-дза-дза!», и он от субъективных съемок скорее проигрывает, чем выигрывает. Потому что многие зрители терпеть не могут «болтанку» от съемки ручной камерой без стабилизатора. В фильме этот эффект возникает редко, но без него все же не обходится.
При всем при этом в «Континууме» есть здравое зерно, и картину было бы не так уж трудно модифицировать, чтобы превратить ее в полноценное, захватывающее жанровое кино. Но Дин Израэлит это не сделал, и его лента смотрится как скучный и порой нелепый «первый блин комом», ничуть не похожий на тоже дебютную, но замечательную «Хронику».
Как связаны путешествия во времени и пространственно-временной континуум?
Смотря о каком путешествии речь.
Путешествию в будущее хватает ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ пространства и времени и не требуется непременного искривления пространственно-временного континуума. Условия его практической реализации были предсказаны еще в рамках Специальной теории относительности Эйнштейна, искривления не учитывающей. Разгоняетесь до околосветовых скоростей, возвращаетесь к месту старта через пару лет, а там прошли века или тысячелетия.
А путешествия в прошлое возможны (если возможны) лишь благодаря сильному ИСКРИВЛЕНИЮ пространства-времени — это уже Общая теория относительности. То есть, вблизи огромной массы (например, «черной дыры»). И не всегда, а лишь при неких дополнительных условиях — тех, или иных (подробнее: https://thequestion.ru/questions/103531/vopros-k-fizikam-teoretikam-esli-takovye-imeyutsya-pochemu-nevozmozhno-puteshestvovat-vo-vremeni-dazhe-esli-vozmozhno-to-kak). При этом, оно возможно лишь вдоль ЗАМКНУТОЙ кривой в четырехмерном пространстве-времени. Поэтому теоретически невозможно вернуться в настолько отдаленное прошлое, в котором еще не было самой «машины времени» (гигантской массы, вызвавшей искривление). Создав «машину времени» сегодня, нельзя воспользоваться ею для «путешествия» во вчера. Можно только найти (где-то во Вселенной) такой объект, достаточно давно существующий. И уже рядом с ним «путешествовать» в прошлое к моменту возникновения объекта (максимум).
Пространственная удаленность природной «машины» для путешествий в прошлое (буде вообще существует) мешает реализовать мечты о путешествии в прошлое Земли, убийстве своих прародителей и пр. До массивного объекта надо еще добраться (требует времени), потом вернуться. Весьма вероятно (неизбежно?), что полет к «машине» и обратно с лихвой перекроют эффект от самого «путешествия в прошлое» вблизи «машины». Но можно слетать к «машине» (отставая от света Солнца), вернуться в прошлое (с лихвой компенсировав отставание) и посмотреть на Солнечную систему (нашу галактику и т.д.) времен динозавров (или ранее). Скажем, изучить спектр солнечного света в соответствующий период (или размер и форму галактики и т. д.)