Вершина треугольника правило

Вершина треугольника правило

Начальные геометрические сведения Луч и угол Сравнение и измерение отрезков Сравнение и измерение углов Вертикальные и смежные углы Первый признак равенства треугольников. Свойства равнобедренного треугольника Второй и третий признаки равенства треугольников Признаки параллельности прямых

«Треугольник. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника» .

После изучения этой темы:

Вы вспомните, что такое геометрическая фигура, которая называется «треугольник», обозначение треугольника и его основных элементов;

Узнаете, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника, их основные свойства;

Научитесь строить медиану, биссектрису и высоту треугольника.

Перед началом обучения обязательно распечатайте материал для работы (нажмите на изображение ниже):

В левом столбце печатного материала находятся:

формулировки заданий и место для записи ответа на задания.

В правом столбце печатного материала находятся:

графические иллюстрации к теоретическому материалу;

заготовки рисунков для выполнения задания;

илиместо для выполнения рисунка, если это есть в задании.

Кроме теории материал содержит три задачи на построение, для которых уже выполнены заготовки рисунков. Слева от заготовки необходимо записать Построение (последовательность действий) с помощью условных обозначений.

Ниже представлены примеры построения медианы , биссектрисы и высоты треугольника.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

4. Медиана, биссектриса и высота треугольника. Правила

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.

В любом треугольнике можно провести 3 медианы. Все они
пересекаются в одной точке, в центре (центре тяжести) треугольника.


AK = KC ,
BK — медиана ABC ,

О — центр A 1 B 1 C 1 .

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне.

Обратите внимание, что биссектриса угла — это луч, делящий угол
на два равных, а биссектриса треугольника — это отрезок, часть луча,
ограниченная стороной треугольника.


BK — биссектриса ABC ,

A 1 О — биссектриса C 1 A 1 B 1 .

В каждом треугольнике можно провести
3 биссектрисы, которые пересекаются в одной точке,
обычно обозначаемой латинской буквой I .

Точка пересечения биссектрис треугольника ( I ) —
центр вписанной в треугольник окружности.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины
треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Задачи на тему «Медиана, биссектриса и высота треугольника»

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Биссектриса. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

  • Биссектриса — это линия, делящая угол пополам.
  • Биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6:

Биссектриса треугольника и ее свойства

Знаешь ли ты, что такое середина отрезка? Конечно же знаешь. А центр круга? Тоже. А что такое середина угла? Ты можешь сказать, что такого не бывает. Но почему же, отрезок можно разделить пополам, а угол нельзя? Вполне можно – только не точкой, а…. линией.

Помнишь шутку: биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. Так вот, настоящее определение биссектрисы очень похоже на эту шутку:

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы. Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек… Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ГИА и ЕГЭ!

Первое знание, которое поможет в этом – биссектриса равнобедренного треугольника.

Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Помнишь чем они отличаются друг от друга? Нет? Не страшно. Сейчас разберемся.

Итак, основание равнобедренного треугольника – это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно — это сторона .

Медиана – это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова ) пополам.

Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.

Ну, а высота – это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.

Итак, разобрались? Ну почти. Чтобы еще лучше понять и навсегда запомнить что такое биссектриса, медиана и высота, их нужно сравнить друг с другом и понять в чем они похожи и чем они отличаются друг от друга. При этом, чтобы лучше запомнить, лучше описать все «человеческим языком». Потом ты легко будешь оперировать языком математики, но сначала ты этот язык не понимаешь и тебе нужно осмыслить все на своем языке.

Итак, в чем они похожи? Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной. По-моему просто, нет?

А чем они отличаются?

  • Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
  • Медиана делит противоположную сторону пополам.
  • Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.

Теперь все. Понять – легко. А раз понял, можешь запомнить.

Теперь следующий вопрос. Почему же в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Можно просто посмотреть на рисунок и убедиться, что медиана разбивает на два абсолютно равных треугольника. Вот и все! Но математики не любят верить своим глазам. Им нужно все доказывать. Страшное слово? Ничего подобного — все просто! Смотри: у и равны стороны и , сторона у них вообще общая и . ( – биссектриса!) И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними. Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что , а значит = и .

= – это уже хорошо – значит, оказалась медианой.

А вот что такое ?

Посмотрим на картинку — . А у нас получилось, что . Значит, и тоже! Наконец, ура! и .

Показалось ли тебе это доказательство тяжеловатым? Посмотри на картинку – два одинаковых треугольника говорят сами за себя.

В любом случае твердо запомни:

Теперь сложнее: мы посчитаем угол между биссектрисами в любом треугольнике! Не бойся, все не так уж хитро. Смотри на рисунок:

Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна ?

Применим этот потрясающий факт.

С одной стороны, из :

Теперь посмотрим на :

Но биссектрисы, биссектрисы же!

Теперь через буквы

Не удивительно ли? Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла!

Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три. Пересекутся ли они все в одной точке?

Как ты думаешь? Вот математики думали-думали и доказали:

Хочешь знать, почему же так получается?

Переходи на следующий уровень – ты готов к покорению новых вершин знаний о биссектрисе!

Помнишь, что такое биссектриса?

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.

1. Биссектриса в равнобедренном треугольнике.

Не боишься слова «теорема»? Если боишься, то – зря. Теоремой математики привыкли называть всякое утверждение, которое можно как-то вывести из других, более простых утверждений.

Так вот, внимание, теорема!

Докажем эту теорему, то есть поймём, почему же так получается? Посмотри на равнобедренный .

Давай посмотрим на них внимательно. И тогда увидим, что

А это значит (скорее вспоминай первый признак равенства треугольников!), что . Ну и что? Хочется тебе так сказать? А то, что мы ещё не смотрели на третьи стороны и оставшиеся углы этих треугольников. А вот теперь посмотрим. Раз , то совершенно точно и даже вдобавок, .

Вот и получилось, что

  1. разделила сторону пополам, то есть оказалась медианой
  2. , а значит, они оба по , так как (глянь ещё раз на рисунок).

Вот и оказалась биссектриса и высотой тоже!

Ура! Доказали теорему. Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Доказательство? Неужели тебе интересно? Читай следующий уровень теории!

А если неинтересно, то твердо запомни:

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь? А вот представь, что у тебя задача:

Дано: .

Найти: .

Ты тут же соображаешь, биссектриса и, о чудо, она разделила сторону пополам! (по условию…). Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что и значит, пишешь ответ: . Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

А теперь следующее свойство. Готов?

2. Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Испугался? На самом деле ничего страшного. Ленивые математики в двух строчках спрятали четыре. Итак, что же значит, «Биссектриса – геометрическое место точек»? А это значит, что выполняются сразу дваутверждения:

  1. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
  2. Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.

Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: «Так ты еще чего доброго скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу», — одно и то же!»

Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: «биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла» будет доказано!

Почему же верно 1?

Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её .

Опустим из этой точки перпендикуляры и на стороны угла.

А теперь …приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел «Прямоугольный треугольник».

Итак…два прямоугольных треугольника: и . У них:

  • Общая гипотенуза .
  • (потому что – биссектриса!)

Значит, — по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников – равны! То есть .

Доказали, что точка одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.

Еще по теме:

  • Налог на земли промназначения Земли промышленного назначения: категории, характеристики, нюансы использования В какой-то момент своего существования люди стали покидать крошечные мастерские и взялись за строительство фабрик и заводов. Современные производственные комплексы могут занимать площади, сравнимые с […]
  • Акт проверки знаний правил безопасного обращения с оружием Акт проверки знаний правил безопасного обращения с оружием Пройти пробный экзамен Записаться на обучение или проверку знаний можно по телефону 8 (495) 737 46 46, Или же заполнив анкету на нашем сайте! Обращаем внимание что инспектор ОЛРР Росгвардии присутствует только 1 раз (пока) в […]
  • Законы по оффшорам Изменения в законе об оффшорах в 2018 году Борьба с оффшорными зонами стала насущной проблемой как российских чиновников, так и мирового экономического сообщества. Основная причина тому – утечка капиталов с внутреннего рынка в обход государственной казны. В связи с этим был принят ряд […]
  • Заявление на взыскание судебных расходов пошлина Заявление о взыскании судебных расходов Для возврата потраченных в связи с обращением в суд денежных средств оформите заявление о взыскании судебных расходов. Процедура рассмотрения гражданского дела почти всегда влечет определенные денежные затраты. При подаче иска в суд оплачивается […]
  • В какое число выплачивается пенсия В какое число выплачивается пенсия Начисление и выплата пенсии, в отличие от заработной платы, происходит в том же месяце, за который она начисляется. Заработная плата платится за отработанный месяц. Объясняется это просто. Пенсия дается для того, чтобы пенсионер мог использовать ее в […]
  • Дсаго отдельно от осаго Все о полисе страхования ДСАГО Введенное в 2003 году в России обязательное страхование гражданской ответственности обладателей личного транспортного средства предполагает гарантированное получение финансовой поддержки участниками ДТП. В связи с этим полис ОСАГО получил статус документа […]
  • Повышение пенсий 2018 рб В Беларуси с 1 августа повысят трудовые пенсии В Беларуси с 1 августа вырастут трудовые пенсии. В результате перерасчета выплаты увеличатся в среднем на 10%. Это предусмотрено указом № 278 «О повышении пенсий», который сегодня подписал Александр Лукашенко, сообщают в пресс-службе […]
  • Список машин с налогом на роскошь Список авто попадающих под налог на роскошь 2018 На сайте Минпромторга России опубликован перечень автомобилей, в отношении которых транспортный налог уплачивается с учетом повышающих коэффициентов в 2018 году. Напомним, что подобным образом налоги в отношении автомобилей стоимостью […]