Логический вывод логический закон

Паронимы ЛОГИЧЕСКИЙ — ЛОГИЧНЫЙ

Инфо-урок на тему ПАРОНИМЫ ЛОГИЧЕСКИЙ — ЛОГИЧНЫЙ

1.Лексическое значение паронимов логический — логичный

2.Примеры словосочетаний с паронимом логический

3.Примеры предложений с паронимом логический

4.Примеры словосочетаний с паронимом логичный

5.Примеры предложений с паронимом логичный

1.ЛЕКСИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРОНИМОВ ЛОГИЧЕСКИЙ — ЛОГИЧНЫЙ

ЛОГИЧЕСКИЙ – 1)относящийся к логике как науке о законах и формах мышления, отвечающий её законам. (Употребляется в словосочетаниях терминологического характера)

2)соответствующий законам логики.

ЛОГИЧНЫЙ — разумный, последовательный, закономерный; рассуждающий, поступающий последовательно.

логический вывод — вывод, относящийся к логике, основанный на её законах; логичный вывод — последовательный, разумный вывод.

2.ПРИМЕРЫ СЛОВОСОЧЕТАНИЙ С ПАРОНИМОМ — ЛОГИЧЕСКИЙ

5)логические приёмы мышления

16)логические основы компьютера

3.ПРИМЕРЫ ПРЕДЛОЖЕНИЙ С ПАРОНИМОМ — ЛОГИЧЕСКИЙ

1)Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. (М. Калинин. О коммунистическом воспитании)

2)Значительное место вопросу обучения младших школьников логическим задачам уделял в своих работах педагог В.А.Сухомлинский.
3)Учащиеся решают логические задачи.

4)Способы построения логических задач разнообразны.

5)Логические задачи требуют от учащихся внимательной работы с текстом.

6)Учащиеся познают базовые логические основы компьютера.

7)На занятиях кружка в процессе логических упражнений дети учатся сравнивать объекты.

8)Ребёнок учится производить простые логические действия.

9)Статья посвящена формированию логических действий ученика на уроках математики.

10)Второклассники составляют логическое высказывание по данной картинке.

11)Ученики строят логическую схему по логическому выражению и вычисляют значение выражения.

12)В старших классах учащиеся уже составляют логические схемы самостоятельно.

13)На основе анализа логической связи между высказываниями делается логический вывод.

14)Логическое ударение выделяет в предложении то слово, которое более важно по смыслу.

15)Человек с древних времен стремился познать законы правильного мышления, то есть логические законы.

16)Логические законы независимы от воли и сознания человека.

17)Проблема развития логического мышления исследуется с давних пор.

18)Логическое мышление является одной из форм интеллектуальной деятельности.

19)Логическое мышление, рассуждение, доказательство строятся на законах логики.

20)В основе разных загадок лежит различный логический механизм.

21)Логические умения – важнейший компонент мыслительной деятельности.

22)Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.

23)В современном мире существует огромное количество логических игр.

4.ПРИМЕРЫ СЛОВОСОЧЕТАНИЙ С ПАРОНИМОМ — ЛОГИЧНЫЙ

5.ПРИМЕРЫ ПРЕДЛОЖЕНИЙ С ПАРОНИМОМ — ЛОГИЧНЫЙ

1)Как бы ни были логичны его [Вайса] рассуждения, он не смог уснуть ночь. (В.Кожевников. Щит и меч)

2) [Японцы] народ логичный, рассуждающий . (И.А.Гончаров. Фрегат «Паллада»)

3)Ну что же, логичный конец, думаю я. (Кировская правда, 7.02.86)

4)…невозможно подвергнуть их [проблемы] хоть сколько-нибудь логичному осмыслению… (Шабалинский край, 15.02.97)

5)Окружающие не считали его действия логичными.

6)Ученик успешно выстроил логичный ответ.

7)Переход от одной части сочинения к другой должен быть логичным.

8)Учитель должен научить ученика выстраивать логичный, последовательный повествовательный рассказ.

9)Математика — это целый мир, логичный, чёткий, живущий по своим раз и навсегда установленным законам.

10)Актуальность фразы «за интернетом будущее» носит вполне логичный характер.

11)Сообщение ученика было недостаточно логичным.

12)Не приходил ли вам в голову вполне логичный и практический вопрос: «А зачем нужны сложные предложения?»

13)С помощью графической схемы ребенок гораздо легче составляет логичный рассказ.

14)План сочинения логичный, проблема аргументирована полно.

15)Педагоги прошлого века предлагают свой целостный и логичный путь воспитания.

16)Возникает логичный вопрос: «Почему?»

17)Это наиболее логичный и разумный шаг на пути к решению проблемы.

18)Структурные элементы сочинения взаимосвязаны, осуществлялся логичный переход от одной части к другой.

1.С.И.Ожегов. Словарь русского языка. М. «Русский язык» 1990

2.Е.Д.Головина. Различай слова: Трудные случаи современного русского словоупотребления. Экспресс-справочник. – Киров: Кировская областная типография. 1997.

3.Ю.А.Бельчиков, М.С.Панюшева. Словарь паронимов русского языка. М.: ООО «Издательство АСТ»; ООО «Издательство Астрель», 2004.

5.К.С.Горбачевич. Словарь синонимов русского языка. – М.: Изд-во Эксмо, 2005.

Логический вывод

Логический вывод — это рассуждение (см. Рассуждение), в ходе которого осуществляется переход от исходного суждения (высказывания или системы высказываний) с помощью логических правил к заключению — новому суждению (высказыванию или системе высказываний).

К логическому выводу обычно предъявляются (совместно или по отдельности) два основных требования:

  1. Правила перехода должны воспроизводить отношение логического следования (ту или иную его разновидность);
  2. Переходы в логическом выводе должны осуществляться на основе учёта только синтаксических характеристик высказываний или систем высказываний.

В современной логике понятие логического вывода определяется для формальных систем, в которых высказывания представлены формулами. Обычно выделяют три основных типа формальных систем: аксиоматические исчисления, исчисления натурального вывода, исчисления секвенций. Стандартное определение логического вывода (из множества формул Г) для аксиоматического исчисления S таково: логический вывод в S из множества формул Г есть такая последовательность Α1An формул языка исчисления S, что для каждой Ai (1 ≤ i ≤ n) выполняется, по крайней мере, одно из следующих трёх условий:

  • Ai есть формула из Г;
  • Ai есть аксиома исчисления S;
  • Ai есть формула, получающаяся из предшествующей ей в последовательности A1An формулы или из предшествующих ей в этой последовательности формул по одному из правил вывода исчисления S.

Если α есть логический вывод в S из множества формул Г, то формулы из Г называются посылками α, a сам вывод α называется выводом в S из посылок Г; если при этом A есть последняя формула α, то α называется логическим выводом в S формулы A из посылок Г. Запись «ГsA» означает, что существует логический вывод в S формулы A из посылок Г. Логический вывод в S из пустого множества формул называется доказательством в S. Запись «⊦ s A» означает, что существует доказательство в S формулы A. Формула A называется доказуемой в S, если ⊦ A.

В качестве примера рассмотрим аксиоматическое исчисление S1 со стандартным определением вывода, являющееся вариантом классической логики высказываний. Алфавит этого исчисления содержит только пропозициональные переменные p1, p2, … pn, … логические связки ⊃, ⌉ и круглые скобки. Определение формулы в этом языке обычное. Аксиомы S1 — это формулы следующих шести видов (и только эти формулы):

Единственное правило исчисления S1 modus ponens: ABB.

Определение логического вывода для S1 является очевидной конкретизацией определения, данного выше. Следующая последовательность формул Ф1 — Ф6 является логическим выводом в S1 формулы (p1p2) ⊃ (p2) из посылок (p1).

Анализ: Ф1 есть аксиома вида I, Ф2 есть аксиома вида III, ФЗ получена по правилу modus ponens из Ф1 и Ф2, Ф4 есть посылка, Ф5 получена по правилу modus ponens из Ф4 и ФЗ. Итак, <p1> ⊦ s1 ((p1p2) ⊃ p2). Рассмотрев последовательность формул Φ1, Φ2, Ф3, убеждаемся, что ⊦ s1 (p1p2) ⊃ p2).

В ряде случаев логический вывод определяется так, что на использование некоторых правил накладываются ограничения. Например, в аксиоматических исчислениях, являющихся вариантами классической логики предикатов первого порядка (см. Логика предикатов) и содержащих среди правил вывода только modus ponens и правило обобщения, логический вывод часто определяется так, что на использование правила обобщения накладывается ограничение: любое применение правилам обобщения в α таково, что переменная, по которой проводится обобщение в этом применении правила обобщения, не входит ни в одну посылку, предшествующую в α нижней формуле этого применения правила обобщения. Цель этого ограничения обеспечить ряд полезных с точки зрения логики свойств вывода (например, выполнение для простых форм теоремы дедукции).

Существуют определения логического вывода (как для аксиоматических, так и для исчислений других типов), которые:

  • задают логический вывод не только из множества посылок, но допускают другие формы организации посылок (например, списки или последовательности);
  • структурируют вывод не только линейно, но, например, в форме дерева;
  • имеют явно выраженный индуктивный характер; при этом индуктивное определение вывода может вестись как по одной переменной (например, по длине вывода), так и по нескольким переменным (например, по длине логического вывода и по числу его посылок);
  • содержат формализацию зависимости между формулами в логическом выводе, и многие другие определения логического вывода, обусловленные иными способами формализации и аксиоматизации классических и неклассических систем логики.

Урок 5. Логические законы и противоречия

В прошлом уроке были рассмотрены условия истинности для категорических атрибутивных высказываний в силлогистике. Мы показали, что разные типы высказываний при одних условиях истинны, а при других – ложны. При этом нам ни разу не встречались высказывания, которые были бы всегда истинны или всегда ложны. Между тем, такие высказывания бывают. Первые называются логическими законами, а вторые – логическими противоречиями. О них мы и поговорим в этом уроке.

Во введении к курсу было сказано, что логика – это нормативная наука о формах и приёмах рациональной познавательной деятельности. Как и любая другая наука, логика также формулирует свои законы. Однако в отличие от других наук, законы эти являются нормативными, то есть они не описывают процесс человеческого мышления, а предписывают, как человек должен мыслить, если он хочет, чтобы его рассуждение было корректным. Таким образом, логические законы представляют собой некие общие принципы, которыми люди должны руководствоваться в процессе рассуждения.

Если попытаться дать более строгое определение, то:

Логический закон – это определённая логическая форма, благодаря которой высказывание в целом принимает значение «истина», независимо от конкретного содержания его частей.

По этой причине логические законы также иногда называют логическими тавтологиями: о чём бы мы не говорили, высказывания, имеющие форму логических законов, всегда оказываются истинными. К тому же они кажутся «бесплодными», потому что мы не можем извлечь из них никакой реальной информации о мире.

Логические противоречия – полная противоположность логическим законам, то есть это такая логическая форма, при которой высказывание в целом всегда принимает значение «ложь», независимо от содержания его частей.

Содержание:

Таблицы истинности

Как же определить, что определённое высказывание всегда принимает значение «истина» или «ложь»? Логики придумали для этого очень удобный метод, который получил название «таблиц истинности». Как понятно из названия, они представляют собой таблицы, в которых в верхнюю строку записывается логическая форма высказываний, а в столбцы под каждым компонентом записываются их истинностные значения. Давайте построим таблицу истинности для высказывания «Идёт дождь».

Здесь всё довольно ясно: «Идёт дождь» – это простое высказывание, которое может принимать значение либо «истина», либо «ложь». Обычно для удобства логики сокращают значения до «и» и «л», а само высказывание записывают маленькой буквой латинского алфавита: p, q, r, s и т.д. Поэтому в классическом виде таблица истинности для одного простого высказывания будет выглядеть так:

Давайте теперь представим, что у нас есть два высказывания: «Идёт дождь» и «Светит солнце». Пока они никаким образом не связаны между собой. Однако поскольку их уже два, то у нас возможны уже не две, а четыре комбинации: оба высказывания истинны, оба высказывания ложны, истинно либо первое, либо второе высказывание. Таблица истинности для них будет включать уже четыре строки для значений.

Если у нас есть три высказывания («Идёт дождь», «Светит солнце», «Трава зеленеет»), то таблица будет включать уже восемь строк для значений, так как в таком случае возможны восемь комбинаций.

Чем больше разных высказываний вы хотите рассмотреть, тем больше комбинаций из значений возможно. Число этих комбинаций для n высказываний вычисляется по формуле 2 n . Так для четырёх высказываний, число комбинаций – шестнадцать, для пяти – тридцать два и т.д.

Таблицы истинности строятся и в силлогистике, однако выглядят они немного иначе. В левый столбец обычно помещается диаграмма, изображающая то или иное отношение между терминами S и P, а справа помещаются различные типы высказываний и их истинностные значения.

Это сводная таблица истинности для всех типов атрибутивных высказываний, которые мы обсуждали в прошлом уроке (единичные высказывания не включены отдельно, так как их условия истинности приравниваются к условиям истинности для общих высказываний).

Далее, понятно, что обычно в рассуждении высказывания каким-то образом связаны между собой с помощью пропозициональных связок. Мы зададим истинностные значения для основных связок, которые используются чаще всего в естественном языке.

Логическое отрицание используется, когда в высказывании отрицается наличие некоторой ситуации в мире, говорится об её отсутствии. Например, «Дождь не идёт», «Комната была небольшой», «Неправда, что они друзья». В логике обычно передается через выражения «неверно, что p» или просто «не-p».

Как видно из таблицы, если высказывание истинно, то его отрицание будет принимать значение «ложь», если же высказывание само по себе ложно, то – «истина». Предположим, что вместо p мы имеем высказывание «Маргарет Тэтчер была первой и на настоящий момент единственной женщиной-премьер-министром Великобритании». Это истинное высказывание. Соответственно, если взять его отрицание: «Маргарет Тэтчер не была первой и на настоящий момент единственной женщиной-премьер-министром Великобритании», то оно будет ложным. Если же взять высказывание «Все болезни от нервов», которое является ложным, то его отрицание «Неверно, что все болезни от нервов» будет истинным.

Конъюнкция представляет собой одновременное утверждение наличия двух ситуаций. В естественном языке она обычно передаётся союзами «и», «а», «но» и конструкциями типа «в то же время», «одновременно», «вместе» и т.д. Примеры конъюнкции можно увидеть в высказываниях «Пошёл дождь, и я спрятался под навес», «Витя хотел пойти в кино, а я хотел поиграть в футбол», «Белкин ждал директора целый час, но так и не дождался». Как видно, конъюнкция соединяет два или более простых высказываний в одно сложное.

Конъюнктивное высказывание может быть истинным, только если все его части истинны. Если хотя бы одно простое высказывание, входящее в её состав ложно, то тогда и конъюнкция в целом ложна. Пример истинной конъюнкции: «44-го президента США зовут Барак, а его жену – Мишель». Все следующие высказывания будут ложными: «44-го президента США зовут Барак, а его жену – Мэгги», «44-го президента США зовут Борат, а его жену – Мишель», «44-го президента США зовут Джон, а его жену – Элен».

Дизъюнкция утверждает, что хотя бы одна из двух или более ситуаций имеет место. В естественном языке она выражается словами «или» и «либо». Примеры дизъюнктивных высказываний: «Маша была замужем за Анатолием или за Николаем», «Он работает над проектом ИК-25 либо ПФ-40». Хотя это не так очевидно, как в случае с конъюнкцией, дизъюнкция также объединяет в одно сложное высказывание два или более простых высказывания. Если мы выявляем логическую форму, то правильной была бы запись: «Маша была замужем за Анатолием, или Маша была замужем за Николаем».

Из таблицы понятно, что дизъюнкция ложна, только когда все простые высказывания, входящие в её состав ложны. К примеру, ложным будет высказывание «Уганда находится в Центральной Америке или Западной Европе». Когда хотя бы одна из частей дизъюнкции истина, она в целом также будет истинной. Например, истинным является высказывание «Нот всего семь или шесть». При этом важно отметить, что выражение «хотя бы одна» подразумевает, что и обе части могут быть истинными. Иллюстрацией может служить следующее высказывание: «Велосипеды бывают двухколёсными или трёхколесными». Велосипеды бывают и такими, и другими, поэтому высказывание истинно. Однако нередки случаи, когда мы хотим указать, что лишь одна из альтернатив истинна, но никак не обе вместе. Рассмотрим высказывание «Картина “Герника” принадлежит кисти Пикассо или Тициана». Здесь либо одно, либо другое. Они даже не могли написать её вместе, так как жили в разных веках. В таких ситуациях говорят о строгой дизъюнкции, которая будет истинна исключительно при истинности одного из её членов. Обычно она выражается словами «либо, либо».

Материальная импликация – это связка, которая передаёт отношения причинно-следственной связи между высказываниями. Она выражается словами «если, то». «Если Люся – полная отличница, то и по математике у неё должна быть пятёрка». Смысл импликации состоит в том, что если первое простое высказывание верно, то и второе тоже будет верным.

Попробуем разобраться с этой таблицей. Проблема в том, что истинностные значения материальной импликации, в отличие от значений других пропозициональных связок, совсем не являются интуитивными. С первой строкой всё ясно: если первое высказывание верно, и второе высказывание верно, то импликация в целом тоже верна. Пример: «Если птицы улетают на юг, то, значит, наступила осень». Со второй строкой тоже всё более или менее понятно: если первое высказывание истинно, а второе ложно, то отношения следования между ними нет. Вспомните отрывок из «Золотого ключика», в котором Мальвина пытается научить Буратино арифметике:

– Предположим у вас в кармане два яблока, и некто забрал у вас одно из них. Сколько у вас останется яблок?
– Два.
– Но почему?
– Ведь я не отдам Некту яблоко, пусть он и дерись!

Рассуждения Буратино можно представить в виде высказывания «Если некто забрал одно из имеющихся у меня двух яблок, у меня всё равно осталось два яблока». Если первая часть истинна, то вторая, безусловно, ложна, а потому и импликация в целом ложна. Способностей к арифметике у Буратино, действительно, не было.

С последними двумя строчками дело обстоит сложнее. Проблема в том, что для них сложно придумать пример на естественном языке. Когда логики формулировали значение материальной импликации, они пользовались математическим примером. Они взяли высказывание «Для всякого числа верно, что если оно кратно 4, то оно кратно и двум». Если это высказывание верно для всякого числа, то оно должно быть верным и для любого конкретного числа: 5, 6, 8, 12 и т.д. Если подставить в высказывание 8, то получим: «если 8 кратно 4, то оно кратно и 2». Здесь и первая, и вторая части истинны. Мы получили первую строку. Если подставить число 6, «если 6 кратно 4, то оно кратно и 2», то мы получаем третью строку (первая часть ложна, а вторая истинна). Если подставить 5, «если 5 кратно 4, то 5 кратно и двум», то выходит последняя строка (обе части ложны). Однако мы всё же можем подобрать примеры для всех этих ситуации, поэтому импликация истинна. Но вот для второй строки пример подобрать нельзя: нет такого числа, которое было бы кратно 4, но некратно 2. Поэтому вторая строка ложна.

Итак, мы разобрали истинностные значения основных связок, теперь мы можем посмотреть, какие их комбинации приведут к тому, что высказывание подобной формы будет всегда истинным, независимо от его содержания, другими словами – будет логическим законом.

Логические законы

Сразу стоит оговориться, что логических законов довольно много. Кроме того, обычно они формулируются в рамках конкретной логической системы: логики высказываний, логики предикатов, силлогистики, модальной логики и т.д. То, что является законом в одной системе, совсем необязательно будет законом в другой системе. Однако существует несколько основных законов, которые будут верны в любой логической системе. О них мы и расскажем.

Закон тождества

Закон тождества обычно формулируется в виде формулы «А есть А» или «Если А, то А».

Проверим этот закон с помощью таблицы истинности. Во-первых, у нас всего одно выражение – А, поэтому таблица будет включать только две комбинации: А истинно и А ложно. Во-вторых, связка «Если …, то …» выступает как знак материальной импликации. Таким образом, мы должны взять первую и последнюю строку из таблицы для материальной импликации.

Истинностное значение импликации

Закон тождества также может быть сформулирован и в силлогистике для высказываний «Все А есть А» и «Некоторые А есть А»:

Какой бы термин мы не подставили на место А, высказывания, имеющие эти формы, всегда будут истинными: «Все кошки – это кошки», «Все туфли – это туфли», «Некоторые автомобили – это автомобили», «Некоторые дома – это дома» и т.п.

Как понятно из названия этого закона, он говорит о том, что А тождественно самому себе. Что это означает? Смысл этого закона состоит в утверждении того, что языковые выражения (будь то термин или целое высказывание) не могут менять своё значение в процессе рассуждения. Языковые знаки должны трактоваться однозначно, их употребление должно быть стабильным. Если я утверждаю, что какое-то высказывание истинно, например, что высказывание «Красота спасёт мир» истинно, я не могу следующим шагом утверждать, что оно ложно. И наоборот, если я утверждаю, что какое-то высказывание ложно, оно не может вдруг ни с того ни с сего превратиться в истинное. Рассуждение должно быть последовательным.

Чаще всего закон тождества нарушается при так называемой подмене понятий: в ходе рассуждения используется один и тот же термин, но значения в него вкладываются каждый раз разные. К примеру, возьмём следующее рассуждение: «Знание – сила. Сила – это векторная физическая величина, мера интенсивности воздействия на данное тело других тел и полей. Следовательно, знание – это векторная физическая величина, мера интенсивности воздействия на данное тело других тел и полей». Такое рассуждение не может быть верным, так как здесь нарушен принцип тождества: термин «сила» употребляется в первом и втором предложении в разных значениях.

Закон противоречия

Закон противоречия гласит: неверно, что А и не-А.

Построим таблицу истинности.

В первом столбце даны значения А («истина» и «ложь»). Соответственно, мы просто копируем эти значения в третий столбец. Значения для не-А в пятом столбце будут прямо обратными для значений А, поэтому получаем «ложь», «истина». В четвёртом столбце располагается конъюнкция между А и не-А. Она не может быть истинной ни в одном из случаев. Поэтому её значение всегда «ложь». Наконец, второй столбец представляет значение выражения полностью – это отрицание конъюнкции между А и не-А. Поскольку конъюнкция ложна, то её отрицание будет истинным. В итоге, мы видим, что выражение в целом всегда истинно.

Если же мы возьмём выражение типа «А и не-А», то оно как раз будет представлять собой противоречие. Из таблицы мы видим, что такое выражение всегда будет принимать значение «ложь».

Согласно закону противоречия (иногда его называют законом непротиворечия) невозможно, чтобы одновременно оказались истинными высказывание и его прямое отрицание: неверно, что снег идёт и в то же время не идёт, неверно, что Катя любит ананасы и не любит ананасы. Важно сделать следующее замечание: противоречия возникает только тогда, когда утверждение и отрицание делаются об одном и том же объекте, в одно и то же время, в одном и тот же отношении. Например, высказывания «Снег идёт на Северном полюсе, но снег не идёт в Зимбабве», «Толя ходил в кино вчера, а сегодня не ходил», «Катя любит ананасы, а Петя не любит ананасы», «Вася любит кататься на коньках и не любит кататься на лыжах» не являются противоречиями. Все они говорят либо о разных предметах, либо о разных временных отрезках, либо о разных аспектах одного предмета. Поэтому не всё, что выглядит как противоречие, действительно является таковым. Такие кажущиеся противоречия называют мнимыми. Пример мнимого противоречия можно найти в дзенской притче «Бокудзю и ручей»:

Один дзэнский монах, Бокудзю, говорил: «Иди и пересеки ручей, но не позволяй воде прикоснуться к тебе».
А через ручей около его монастыря не было никакого моста. Многие пытались сделать это, но когда они пересекали ручей, то, конечно же, вода прикасалась к ним. Поэтому однажды один монах пришел к нему и сказал:
— Вы задали нам неразрешимую задачу. Мы пытаемся пересечь этот ручей; через него нет никакого моста. Если бы был мост, то мы, конечно же, пересекли бы ручей, и вода не прикоснулась бы к нам. Но мы вынуждены идти через поток, и вода прикасается к нам.
И Бокудзю сказал:
— Я пойду и пересеку его, а вы наблюдайте.
И Бокудзю пересёк ручей. Вода, конечно, прикоснулась к его ногам, и они сказали:
— Смотрите, вода прикоснулась к вам!
Бокудзю сказал:
— Насколько я знаю, она не прикоснулась ко мне. Я был просто свидетелем. Вода прикоснулась к моим ногам, но не ко мне. Я был просто свидетельствующим.

Между тем, чтобы пересечь ручей без моста и не позволить воде прикоснуться к себе, нет противоречия, потому что в данном случае человеческое я рассматривает в разных отношениях: как тело, и как дух. Тело проходит через ручей и намокает, но дух остаётся безмятежным и не затронутым водой.

Как и закон тождества, закон противоречия требует от нас быть последовательными в рассуждениях. Либо мы принимаем, что высказывание истинно, либо мы принимаем, что оно ложно, но не то и другое вместе. Смешение истины и лжи приводит к тому, что всё рассуждение обесценивается, так как мы уже не можем быть уверены в сделанном выводе. Противоречия опасны потому, что с точки зрения логики из них можно вывести всё что угодно, то есть высказывание формы «Если А и не-А, то В» всегда будет истинным. Вы можете сами проверить это с помощью таблицы истинности. «Если дождь идёт, и дождь не идёт, то Чехов – автор “Войны и мира”». Если допускать противоречия, подобное «рассуждение» оказывается возможным. Поэтому логика ставит запрет на противоречия.

Нужно сказать, что противоречия бывают не только явными, но и скрытыми. Очевидно, что чаще всего никто старается не допускать в своём рассуждении наличия двух прямо противоположных высказываний. Однако, не редки случаи, когда противоречие прячется за вроде бы правильными формулировками. Приведём несколько примеров, которые хорошо это иллюстрируют: «Мы заставим их стать свободными», «Мы будем бороться за мир, и камня на камне не останется от нашей борьбы». Понятно, что идея свободы предполагает, что человека не заставляют, а он сам принимает решения, а идея мира предполагает отсутствия борьбы или войны.

Обычно появление противоречия – это знак того, что в рассуждение где-то закралась ошибка. Исправление этой ошибки, снимет и противоречие. Ошибка может скрываться в сделанных умозаключениях, но может содержаться и в изначально избранных посылках. По этой причине приведение к противоречию играет ключевую роль в так называемых доказательствах от противного. Наверное, все помнят их со школьных уроков геометрии. Доказательство от противного строится на том, что нужно обосновать какой-то тезис, но прямое его доказательство найти не получается. Тогда берётся его отрицание, и в определённый момент рассуждения мы наталкиваемся на противоречие, а это знак того, что отрицание тезиса было неверным. Так что противоречие может играть и позитивную роль в рассуждении.

В заключение, добавим, что в советской философии, превозносившей Маркса и Гегеля, появилось целое направление под названием «диалектическая логика», которая якобы допускала наличие противоречий и даже оценивала их положительно. Такая точка зрения строилась на том, что противоречия – это источник движения и развития, а потому это хорошо, если мы сталкиваемся с ними. Ещё и сегодня можно встретить людей, которые придерживаются подобного мнения. Однако нужно понимать, что речь здесь не идёт о противоречии в логическом смысле (как форме высказывания, которое при любой интерпретации принимает значение «ложь»). Скорее, под противоречием тут следует мыслить несовместимость, плохую сочетаемость ситуаций, феноменов, характеров и т.д. Так во Франции конца XVIII века желание буржуазии участвовать в политической жизни страны плохо сочеталось с формой правления абсолютной монархии, что в итоге привело к буржуазной революции. Можно сказать, что между ними возникло противоречие, но это не имеет никакого отношения к логике.

Закон исключённого третьего

Закон исключённого третьего имеет следующую форму: А или неверно, что А.

Урок 5. Логические законы и противоречия

В прошлом уроке были рассмотрены условия истинности для категорических атрибутивных высказываний в силлогистике. Мы показали, что разные типы высказываний при одних условиях истинны, а при других – ложны. При этом нам ни разу не встречались высказывания, которые были бы всегда истинны или всегда ложны. Между тем, такие высказывания бывают. Первые называются логическими законами, а вторые – логическими противоречиями. О них мы и поговорим в этом уроке.

Во введении к курсу было сказано, что логика – это нормативная наука о формах и приёмах рациональной познавательной деятельности. Как и любая другая наука, логика также формулирует свои законы. Однако в отличие от других наук, законы эти являются нормативными, то есть они не описывают процесс человеческого мышления, а предписывают, как человек должен мыслить, если он хочет, чтобы его рассуждение было корректным. Таким образом, логические законы представляют собой некие общие принципы, которыми люди должны руководствоваться в процессе рассуждения.

Если попытаться дать более строгое определение, то:

Логический закон – это определённая логическая форма, благодаря которой высказывание в целом принимает значение «истина», независимо от конкретного содержания его частей.

По этой причине логические законы также иногда называют логическими тавтологиями: о чём бы мы не говорили, высказывания, имеющие форму логических законов, всегда оказываются истинными. К тому же они кажутся «бесплодными», потому что мы не можем извлечь из них никакой реальной информации о мире.

Логические противоречия – полная противоположность логическим законам, то есть это такая логическая форма, при которой высказывание в целом всегда принимает значение «ложь», независимо от содержания его частей.

Содержание:

Таблицы истинности

Как же определить, что определённое высказывание всегда принимает значение «истина» или «ложь»? Логики придумали для этого очень удобный метод, который получил название «таблиц истинности». Как понятно из названия, они представляют собой таблицы, в которых в верхнюю строку записывается логическая форма высказываний, а в столбцы под каждым компонентом записываются их истинностные значения. Давайте построим таблицу истинности для высказывания «Идёт дождь».

Здесь всё довольно ясно: «Идёт дождь» – это простое высказывание, которое может принимать значение либо «истина», либо «ложь». Обычно для удобства логики сокращают значения до «и» и «л», а само высказывание записывают маленькой буквой латинского алфавита: p, q, r, s и т.д. Поэтому в классическом виде таблица истинности для одного простого высказывания будет выглядеть так:

Давайте теперь представим, что у нас есть два высказывания: «Идёт дождь» и «Светит солнце». Пока они никаким образом не связаны между собой. Однако поскольку их уже два, то у нас возможны уже не две, а четыре комбинации: оба высказывания истинны, оба высказывания ложны, истинно либо первое, либо второе высказывание. Таблица истинности для них будет включать уже четыре строки для значений.

Если у нас есть три высказывания («Идёт дождь», «Светит солнце», «Трава зеленеет»), то таблица будет включать уже восемь строк для значений, так как в таком случае возможны восемь комбинаций.

Чем больше разных высказываний вы хотите рассмотреть, тем больше комбинаций из значений возможно. Число этих комбинаций для n высказываний вычисляется по формуле 2 n . Так для четырёх высказываний, число комбинаций – шестнадцать, для пяти – тридцать два и т.д.

Таблицы истинности строятся и в силлогистике, однако выглядят они немного иначе. В левый столбец обычно помещается диаграмма, изображающая то или иное отношение между терминами S и P, а справа помещаются различные типы высказываний и их истинностные значения.

Это сводная таблица истинности для всех типов атрибутивных высказываний, которые мы обсуждали в прошлом уроке (единичные высказывания не включены отдельно, так как их условия истинности приравниваются к условиям истинности для общих высказываний).

Далее, понятно, что обычно в рассуждении высказывания каким-то образом связаны между собой с помощью пропозициональных связок. Мы зададим истинностные значения для основных связок, которые используются чаще всего в естественном языке.

Логическое отрицание используется, когда в высказывании отрицается наличие некоторой ситуации в мире, говорится об её отсутствии. Например, «Дождь не идёт», «Комната была небольшой», «Неправда, что они друзья». В логике обычно передается через выражения «неверно, что p» или просто «не-p».

Как видно из таблицы, если высказывание истинно, то его отрицание будет принимать значение «ложь», если же высказывание само по себе ложно, то – «истина». Предположим, что вместо p мы имеем высказывание «Маргарет Тэтчер была первой и на настоящий момент единственной женщиной-премьер-министром Великобритании». Это истинное высказывание. Соответственно, если взять его отрицание: «Маргарет Тэтчер не была первой и на настоящий момент единственной женщиной-премьер-министром Великобритании», то оно будет ложным. Если же взять высказывание «Все болезни от нервов», которое является ложным, то его отрицание «Неверно, что все болезни от нервов» будет истинным.

Конъюнкция представляет собой одновременное утверждение наличия двух ситуаций. В естественном языке она обычно передаётся союзами «и», «а», «но» и конструкциями типа «в то же время», «одновременно», «вместе» и т.д. Примеры конъюнкции можно увидеть в высказываниях «Пошёл дождь, и я спрятался под навес», «Витя хотел пойти в кино, а я хотел поиграть в футбол», «Белкин ждал директора целый час, но так и не дождался». Как видно, конъюнкция соединяет два или более простых высказываний в одно сложное.

Конъюнктивное высказывание может быть истинным, только если все его части истинны. Если хотя бы одно простое высказывание, входящее в её состав ложно, то тогда и конъюнкция в целом ложна. Пример истинной конъюнкции: «44-го президента США зовут Барак, а его жену – Мишель». Все следующие высказывания будут ложными: «44-го президента США зовут Барак, а его жену – Мэгги», «44-го президента США зовут Борат, а его жену – Мишель», «44-го президента США зовут Джон, а его жену – Элен».

Дизъюнкция утверждает, что хотя бы одна из двух или более ситуаций имеет место. В естественном языке она выражается словами «или» и «либо». Примеры дизъюнктивных высказываний: «Маша была замужем за Анатолием или за Николаем», «Он работает над проектом ИК-25 либо ПФ-40». Хотя это не так очевидно, как в случае с конъюнкцией, дизъюнкция также объединяет в одно сложное высказывание два или более простых высказывания. Если мы выявляем логическую форму, то правильной была бы запись: «Маша была замужем за Анатолием, или Маша была замужем за Николаем».

Из таблицы понятно, что дизъюнкция ложна, только когда все простые высказывания, входящие в её состав ложны. К примеру, ложным будет высказывание «Уганда находится в Центральной Америке или Западной Европе». Когда хотя бы одна из частей дизъюнкции истина, она в целом также будет истинной. Например, истинным является высказывание «Нот всего семь или шесть». При этом важно отметить, что выражение «хотя бы одна» подразумевает, что и обе части могут быть истинными. Иллюстрацией может служить следующее высказывание: «Велосипеды бывают двухколёсными или трёхколесными». Велосипеды бывают и такими, и другими, поэтому высказывание истинно. Однако нередки случаи, когда мы хотим указать, что лишь одна из альтернатив истинна, но никак не обе вместе. Рассмотрим высказывание «Картина “Герника” принадлежит кисти Пикассо или Тициана». Здесь либо одно, либо другое. Они даже не могли написать её вместе, так как жили в разных веках. В таких ситуациях говорят о строгой дизъюнкции, которая будет истинна исключительно при истинности одного из её членов. Обычно она выражается словами «либо, либо».

Материальная импликация – это связка, которая передаёт отношения причинно-следственной связи между высказываниями. Она выражается словами «если, то». «Если Люся – полная отличница, то и по математике у неё должна быть пятёрка». Смысл импликации состоит в том, что если первое простое высказывание верно, то и второе тоже будет верным.

Попробуем разобраться с этой таблицей. Проблема в том, что истинностные значения материальной импликации, в отличие от значений других пропозициональных связок, совсем не являются интуитивными. С первой строкой всё ясно: если первое высказывание верно, и второе высказывание верно, то импликация в целом тоже верна. Пример: «Если птицы улетают на юг, то, значит, наступила осень». Со второй строкой тоже всё более или менее понятно: если первое высказывание истинно, а второе ложно, то отношения следования между ними нет. Вспомните отрывок из «Золотого ключика», в котором Мальвина пытается научить Буратино арифметике:

– Предположим у вас в кармане два яблока, и некто забрал у вас одно из них. Сколько у вас останется яблок?
– Два.
– Но почему?
– Ведь я не отдам Некту яблоко, пусть он и дерись!

Рассуждения Буратино можно представить в виде высказывания «Если некто забрал одно из имеющихся у меня двух яблок, у меня всё равно осталось два яблока». Если первая часть истинна, то вторая, безусловно, ложна, а потому и импликация в целом ложна. Способностей к арифметике у Буратино, действительно, не было.

С последними двумя строчками дело обстоит сложнее. Проблема в том, что для них сложно придумать пример на естественном языке. Когда логики формулировали значение материальной импликации, они пользовались математическим примером. Они взяли высказывание «Для всякого числа верно, что если оно кратно 4, то оно кратно и двум». Если это высказывание верно для всякого числа, то оно должно быть верным и для любого конкретного числа: 5, 6, 8, 12 и т.д. Если подставить в высказывание 8, то получим: «если 8 кратно 4, то оно кратно и 2». Здесь и первая, и вторая части истинны. Мы получили первую строку. Если подставить число 6, «если 6 кратно 4, то оно кратно и 2», то мы получаем третью строку (первая часть ложна, а вторая истинна). Если подставить 5, «если 5 кратно 4, то 5 кратно и двум», то выходит последняя строка (обе части ложны). Однако мы всё же можем подобрать примеры для всех этих ситуации, поэтому импликация истинна. Но вот для второй строки пример подобрать нельзя: нет такого числа, которое было бы кратно 4, но некратно 2. Поэтому вторая строка ложна.

Итак, мы разобрали истинностные значения основных связок, теперь мы можем посмотреть, какие их комбинации приведут к тому, что высказывание подобной формы будет всегда истинным, независимо от его содержания, другими словами – будет логическим законом.

Логические законы

Сразу стоит оговориться, что логических законов довольно много. Кроме того, обычно они формулируются в рамках конкретной логической системы: логики высказываний, логики предикатов, силлогистики, модальной логики и т.д. То, что является законом в одной системе, совсем необязательно будет законом в другой системе. Однако существует несколько основных законов, которые будут верны в любой логической системе. О них мы и расскажем.

Закон тождества

Закон тождества обычно формулируется в виде формулы «А есть А» или «Если А, то А».

Проверим этот закон с помощью таблицы истинности. Во-первых, у нас всего одно выражение – А, поэтому таблица будет включать только две комбинации: А истинно и А ложно. Во-вторых, связка «Если …, то …» выступает как знак материальной импликации. Таким образом, мы должны взять первую и последнюю строку из таблицы для материальной импликации.

Истинностное значение импликации

Закон тождества также может быть сформулирован и в силлогистике для высказываний «Все А есть А» и «Некоторые А есть А»:

Какой бы термин мы не подставили на место А, высказывания, имеющие эти формы, всегда будут истинными: «Все кошки – это кошки», «Все туфли – это туфли», «Некоторые автомобили – это автомобили», «Некоторые дома – это дома» и т.п.

Как понятно из названия этого закона, он говорит о том, что А тождественно самому себе. Что это означает? Смысл этого закона состоит в утверждении того, что языковые выражения (будь то термин или целое высказывание) не могут менять своё значение в процессе рассуждения. Языковые знаки должны трактоваться однозначно, их употребление должно быть стабильным. Если я утверждаю, что какое-то высказывание истинно, например, что высказывание «Красота спасёт мир» истинно, я не могу следующим шагом утверждать, что оно ложно. И наоборот, если я утверждаю, что какое-то высказывание ложно, оно не может вдруг ни с того ни с сего превратиться в истинное. Рассуждение должно быть последовательным.

Чаще всего закон тождества нарушается при так называемой подмене понятий: в ходе рассуждения используется один и тот же термин, но значения в него вкладываются каждый раз разные. К примеру, возьмём следующее рассуждение: «Знание – сила. Сила – это векторная физическая величина, мера интенсивности воздействия на данное тело других тел и полей. Следовательно, знание – это векторная физическая величина, мера интенсивности воздействия на данное тело других тел и полей». Такое рассуждение не может быть верным, так как здесь нарушен принцип тождества: термин «сила» употребляется в первом и втором предложении в разных значениях.

Закон противоречия

Закон противоречия гласит: неверно, что А и не-А.

Построим таблицу истинности.

В первом столбце даны значения А («истина» и «ложь»). Соответственно, мы просто копируем эти значения в третий столбец. Значения для не-А в пятом столбце будут прямо обратными для значений А, поэтому получаем «ложь», «истина». В четвёртом столбце располагается конъюнкция между А и не-А. Она не может быть истинной ни в одном из случаев. Поэтому её значение всегда «ложь». Наконец, второй столбец представляет значение выражения полностью – это отрицание конъюнкции между А и не-А. Поскольку конъюнкция ложна, то её отрицание будет истинным. В итоге, мы видим, что выражение в целом всегда истинно.

Если же мы возьмём выражение типа «А и не-А», то оно как раз будет представлять собой противоречие. Из таблицы мы видим, что такое выражение всегда будет принимать значение «ложь».

Согласно закону противоречия (иногда его называют законом непротиворечия) невозможно, чтобы одновременно оказались истинными высказывание и его прямое отрицание: неверно, что снег идёт и в то же время не идёт, неверно, что Катя любит ананасы и не любит ананасы. Важно сделать следующее замечание: противоречия возникает только тогда, когда утверждение и отрицание делаются об одном и том же объекте, в одно и то же время, в одном и тот же отношении. Например, высказывания «Снег идёт на Северном полюсе, но снег не идёт в Зимбабве», «Толя ходил в кино вчера, а сегодня не ходил», «Катя любит ананасы, а Петя не любит ананасы», «Вася любит кататься на коньках и не любит кататься на лыжах» не являются противоречиями. Все они говорят либо о разных предметах, либо о разных временных отрезках, либо о разных аспектах одного предмета. Поэтому не всё, что выглядит как противоречие, действительно является таковым. Такие кажущиеся противоречия называют мнимыми. Пример мнимого противоречия можно найти в дзенской притче «Бокудзю и ручей»:

Один дзэнский монах, Бокудзю, говорил: «Иди и пересеки ручей, но не позволяй воде прикоснуться к тебе».
А через ручей около его монастыря не было никакого моста. Многие пытались сделать это, но когда они пересекали ручей, то, конечно же, вода прикасалась к ним. Поэтому однажды один монах пришел к нему и сказал:
— Вы задали нам неразрешимую задачу. Мы пытаемся пересечь этот ручей; через него нет никакого моста. Если бы был мост, то мы, конечно же, пересекли бы ручей, и вода не прикоснулась бы к нам. Но мы вынуждены идти через поток, и вода прикасается к нам.
И Бокудзю сказал:
— Я пойду и пересеку его, а вы наблюдайте.
И Бокудзю пересёк ручей. Вода, конечно, прикоснулась к его ногам, и они сказали:
— Смотрите, вода прикоснулась к вам!
Бокудзю сказал:
— Насколько я знаю, она не прикоснулась ко мне. Я был просто свидетелем. Вода прикоснулась к моим ногам, но не ко мне. Я был просто свидетельствующим.

Между тем, чтобы пересечь ручей без моста и не позволить воде прикоснуться к себе, нет противоречия, потому что в данном случае человеческое я рассматривает в разных отношениях: как тело, и как дух. Тело проходит через ручей и намокает, но дух остаётся безмятежным и не затронутым водой.

Как и закон тождества, закон противоречия требует от нас быть последовательными в рассуждениях. Либо мы принимаем, что высказывание истинно, либо мы принимаем, что оно ложно, но не то и другое вместе. Смешение истины и лжи приводит к тому, что всё рассуждение обесценивается, так как мы уже не можем быть уверены в сделанном выводе. Противоречия опасны потому, что с точки зрения логики из них можно вывести всё что угодно, то есть высказывание формы «Если А и не-А, то В» всегда будет истинным. Вы можете сами проверить это с помощью таблицы истинности. «Если дождь идёт, и дождь не идёт, то Чехов – автор “Войны и мира”». Если допускать противоречия, подобное «рассуждение» оказывается возможным. Поэтому логика ставит запрет на противоречия.

Нужно сказать, что противоречия бывают не только явными, но и скрытыми. Очевидно, что чаще всего никто старается не допускать в своём рассуждении наличия двух прямо противоположных высказываний. Однако, не редки случаи, когда противоречие прячется за вроде бы правильными формулировками. Приведём несколько примеров, которые хорошо это иллюстрируют: «Мы заставим их стать свободными», «Мы будем бороться за мир, и камня на камне не останется от нашей борьбы». Понятно, что идея свободы предполагает, что человека не заставляют, а он сам принимает решения, а идея мира предполагает отсутствия борьбы или войны.

Обычно появление противоречия – это знак того, что в рассуждение где-то закралась ошибка. Исправление этой ошибки, снимет и противоречие. Ошибка может скрываться в сделанных умозаключениях, но может содержаться и в изначально избранных посылках. По этой причине приведение к противоречию играет ключевую роль в так называемых доказательствах от противного. Наверное, все помнят их со школьных уроков геометрии. Доказательство от противного строится на том, что нужно обосновать какой-то тезис, но прямое его доказательство найти не получается. Тогда берётся его отрицание, и в определённый момент рассуждения мы наталкиваемся на противоречие, а это знак того, что отрицание тезиса было неверным. Так что противоречие может играть и позитивную роль в рассуждении.

В заключение, добавим, что в советской философии, превозносившей Маркса и Гегеля, появилось целое направление под названием «диалектическая логика», которая якобы допускала наличие противоречий и даже оценивала их положительно. Такая точка зрения строилась на том, что противоречия – это источник движения и развития, а потому это хорошо, если мы сталкиваемся с ними. Ещё и сегодня можно встретить людей, которые придерживаются подобного мнения. Однако нужно понимать, что речь здесь не идёт о противоречии в логическом смысле (как форме высказывания, которое при любой интерпретации принимает значение «ложь»). Скорее, под противоречием тут следует мыслить несовместимость, плохую сочетаемость ситуаций, феноменов, характеров и т.д. Так во Франции конца XVIII века желание буржуазии участвовать в политической жизни страны плохо сочеталось с формой правления абсолютной монархии, что в итоге привело к буржуазной революции. Можно сказать, что между ними возникло противоречие, но это не имеет никакого отношения к логике.

Закон исключённого третьего

Закон исключённого третьего имеет следующую форму: А или неверно, что А.

Еще по теме:

  • Кредиты под залог недвижимости для юридических лиц Кредит под залог коммерческой недвижимости и земли Хотите взять кредит под залог коммерческой недвижимости? Обратитесь к нашим опытным специалистам, которые ответят на все интересующие Вас вопросы, объяснят все нюансы и юридические тонкости данного вида кредитования, а также помогут […]
  • Возражение на исковое заявление встречный иск Возражение на исковое заявление встречный иск Нередки ситуации, когда вы узнаете, что на Вас подали в суд, лишь когда к вам приходит повестка. Очень часто к полученной вами повестке в суд не прикладывается ни одного документа, и все что Вы можете узнать из нее, это место и время […]
  • Льгота по налогам для детей-инвалидов Налоговые вычеты для родителей детей-инвалидов Нашла в Интернете информацию, что для родителей детей-инвалидов с 1 января значительно выросли налоговые вычеты. Подскажите, что это такое и куда обращаться, чтобы это работало. С 1 января 2016 года вступили в силу следующие нормы Налогового […]
  • Возврат обеспечения исполнения контракта сроки Возврат обеспечения исполнения контракта: все о сроках Возврат обеспечения исполнения контракта - является очень интересным вопросом. Особенно, многих интересуют сроки возврата обеспечения по действующему законодательству. На сегодняшний день существует два вида обеспечения исполнения […]
  • Проведение медико-экономической экспертизы Разъяснены особенности проведения медико-экономического контроля, медико-экономической экспертизы и экспертизы качества медицинской помощи В соответствии с Порядком организации и проведения контроля объемов, сроков, качества и условий предоставления медицинской помощи по обязательному […]
  • Материальное пособие при сокращении Обложение выплат при сокращении штата НДФЛ и страховыми взносами Сокращение численности или штата работников организации является одним из оснований для расторжения трудового договора по инициативе работодателя (п. 2 части первой ст. 81 ТК РФ). При расторжении трудового договора по этому […]
  • Сводная таблица по налогам 2018 Налоги: изменения 2018 Актуально на: 12 января 2018 г. Изменений по налогам в 2018 году немало. Так что давайте обо все по порядку. Изменения по налогу на прибыль – 2018 Главное новшество, касающееся налога на прибыль, – это введение инвестиционного налогового вычета (ст. 286.1 НК РФ). […]
  • Фст реестр Приказ Федеральной службы по тарифам от 19 ноября 2014 г. N 2007-с "О введении государственного регулирования деятельности субъекта естественной монополии и включении организации в Реестр субъектов естественных монополий, в отношении которых осуществляются государственное регулирование и […]