Элементы комбинаторики правила суммы и произведения

Содержание страницы:

Учебник по теории вероятностей

1.1. Элементы комбинаторики

Размещения

Рассмотрим некоторое множество $Х$, состоящее из $n$ элементов $X = \< x_1, x_2, . x_n \>$. Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества $Y$ из $k$ элементов.

Размещением из $n$ элементов множества $Х$ по $k$ элементам назовем любой упорядоченный набор $ \left( x_, x_, . x_ \right)$ элементов множества $Х$.

Если выбор элементов множества $Y$ из $Х$ происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества $Х$ может быть выбран несколько раз, то число размещений из $n$ по $k$ находится по формуле $n^k$ (размещения с повторениями).

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества $Х$ можно выбирать только один раз, то количество размещений из $n$ по $k$ обозначается $A_n^k$ и определяется равенством $$ A_n^k=n\cdot(n-1)\cdot . \cdot (n-k+1) = \frac<(n-k)!>. $$ (размещения без повторений).

Пример. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет $m=n^k=6^3=216$. Если цифры не повторяются, то $m=A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4= 120$.

Пример. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Решение. Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения: $A_<10>^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8= 720$.

Перестановки

Частный случай размещения при $n=k$ называется перестановкой из $n$ элементов. Число всех перестановок из $n$ элементов равно $A_n^n=P_n=n!$.

Пример. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет $P_<28>$. А три книги можно переставлять между собой $P_3$ способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно: $N=P_3 \cdot P_ <28>= 3! \cdot 28!$.

Пусть теперь из множества $Х$ выбирается неупорядоченное подмножество $Y$ (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из $n$ элементов по $k$ называются подмножества из $k$ элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из $n$ по $k$ обозначается $C_n^k$ и равно $$ C_n^k = \frac = \frac <(n-k)!\cdot k!>= \frac. $$

Справедливы равенства: $$ C_n^0=1, \; C_n^n=1, \; C_n^k = C_n^. $$

Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний: $$ C_<27>^3 = \frac<27!> <24!\cdot 3!>= \frac<27\cdot 26\cdot 25><1\cdot 2\cdot 3>=2925. $$

Подробности и онлайн калькуляторы для комбинаторики

Еще наглядно с картинками и примерами про основные формулы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания) и их применение для решения задач здесь: Формулы комбинаторики. Для быстрого нахождения значений — онлайн-калькуляторы:

Правила суммы и произведения

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект $А$ может быть выбран из совокупности объектов $m$ способами, а другой объект $В$ может быть выбран $n$ способами, то выбрать либо $А$, либо $В$ можно $m + n$ способами.

Правило произведения. Если объект $А$ можно выбрать из совокупности объектов $m$ способами и после каждого такого выбора объект $В$ можно выбрать $n$ способами, то пара объектов $(А, В)$ в указанном порядке может быть выбрана $m \cdot n$ способами.

Пример. Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?

Решение. Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами выбор туфель. По принципу умножения получается 4*5*3=60 нарядов (комбинаций).

Правила суммы и произведения

Решение большинства комбинаторных задач основано на правилах, которые называют правилами суммы и произведения.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача 1. В магазине «Магнит» имеется 20 плиток молочного шоколада с орехами «ALPEN GOLD» и 14 плиток черного пористого шоколада «ВОЗДУШНЫЙ». Сколькими способами можно выбрать одну плитку шоколада?

Задача 2. В книжном магазине «Феникс» имеется 5 книг о Гарри Поттере и 3 книги из серии «Властелин колец». Сколькими способами можно выбрать одну книгу?

Эти задачи переведём на язык теории множеств и сформулируем в общем виде:

Имеются два конечных множества А= <а , а , … , а > и В= , b , … , b >, не имеющих общих элементов. Сколькими способами можно выбрать объект, принадлежащий или А, или В?

В комбинаторике, которая возникла раньше теории множеств, правило нахождения числа элементов в объединении двух непересекающихся конечных множеств называют правилом суммы и формулируют в следующем виде.

Если объект а можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k способами, отличными от способа выбора объекта a, то выбор «либо a, либо b» можно осуществить m+k способами.

Правило суммы распространяется и на тот случай, когда число попарно непересекающихся множеств более двух.

Мы можем решить ранее предложенные задачи, используя правило суммы.

Задача 1. Решение. Так как имеется 20 видов молочного шоколада с орехами «ALPEN GOLD», то существует 20 способов выбрать одну из плиток шоколада. Аналогично существует 14 способов выбора одной плитки шоколада «ВОЗДУШНЫЙ». Так как требуется выбрать шоколад «либо с орехами, либо пористый», то по правилу суммы получаем (20+14=34) тридцать четыре способа выбора одной плитки шоколада.

Задача 2. Решение. Рассуждая также, как при решении задачи 1, по правилу суммы получим 8 способов выбора одной книги из предложенных.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 3. Ко Дню Именинника, отмечаемого в начальной школе, родители приготовили детям подарки: 9 книг художественной литературы различных писателей и 5 видов блокнотов. Сколькими способами можно выбрать подарок, состоящий из одной книги и одного блокнота?

Задача 4. Сколькими способами можно составить команду из одного спортсмена по прыжкам в длину и одного бегуна, которые являются претендентами для участия в соревнованиях по легкой атлетике, если среди претендентов на участие 7 спортсменов по прыжкам в длину и 4 спортсмена по бегу?

Переведём эти задачи на язык теории множеств и сформулируем в общем виде:

Имеются два конечных множества А= <а , а , … , а > и В= , b , … , b >. Сколькими способами можно выбрать два объекта, один из которых принадлежит множеству А, а второй – множеству В?

В теории множеств решение таких задач сводится к нахождению числа элементов в декартовом произведении множеств. В комбинаторике правило, по которому решаются подобные задачи, называют правилом произведения.

Если объект а можно выбрать n способами, а объект b можно выбрать m способами, то выбор «и a, и b» можно осуществить n ∙ m способами.

Правило произведения распространяется на случай выбора кортежа любой длины.

Используя правило произведения, решим задачи, предложенные ранее.

Задача 3. Решение. Так как существует 9 способов выбора книг по художественной литературе и 5 способов выбора блокнотов, то по правилу произведения «выбор книги и блокнота» («и a, и b») можно осуществить (9∙5=45) сорока пятью способами.

Ответ: 45 способов.

Задача 4. Решение. Рассуждая также как при решении задачи 4, по правилу произведения получим 28 способов составить команду для участия в соревнованиях по легкой атлетике.

Ответ: 28 способов.

Рассмотрим еще несколько задач.

Задача 5. Определим, сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»? а из слова «микрон»?

Решение.В слове «здание» 3 согласные и 3 гласные буквы. Нам необходимо выбрать и гласную и согласную буквы, поэтому по правилу произведения выбор может быть произведен 3∙3 = 9 (способами).

А из слова «микрон» выбор можно сделать 4∙2=8 (способами).

Ответ: 9 способами, 8 способами.

Задача 6. В конкурсе принимают участие 20 человек. Сколькими способами можно присудить первую, вторую и третью премии?

Решение.Существует 20 способов выбора одного кандидата на первую премию. Остается 19 кандидатов, одному из которых присуждают вторую премию. Наконец, одному из восемнадцати оставшихся кандидатов присуждают третью премию. Согласно правилу произведения для этого существует 20 • 19 • 18=6840 (способов) присуждения первой, второй и третьей премии.

Ответ: 6840 способов.

Задача 7. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9?

Решение. Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру разряда сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков можно осуществить шестью способами, выбрать цифру единиц из данных шести также можно шестью способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что всего трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 5•6•6=300(чисел).

Ответ: 300 чисел.

Задача 8. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи числа только один раз?

Решение. Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру разряда сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков можно осуществить также пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести данных цифр будет уже использована для записи сотен; После выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что всего трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 100: 5•5•4=100(чисел).

Ответ: 100 чисел.

Докажем теорему 5, используя правило произведения.

Теорема 5. Конечное множество, содержащее п элементов, имеет 2 п подмножеств, то есть если Ап = <а1, а2, . , a >, то п(М(Ап))=2 п .

 Перенумеруем элементы множества А и для каждого подмножества множества А построим последовательность длины n из нулей и единиц по следующему правилу: на k – м месте пишем 1, если элемент с номером k входит в подмножество, и 0, если элемент с номером k не входит в подмножество. Итак, каждому подмножеству соответствует своя последовательность нулей и единиц. Число всех возможных последовательностей длины n, составленных из нулей и единиц, равно, согласно правилу произведения: 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2=2 .

Следовательно, и число всех подмножеств множества А равно 2 . Теорема доказана.

КомбинаторикаКомбинаторика. Цель урока: Рассмотреть, что изучает комбинаторика, ввести правила суммы и произведения и показать их применение при решении. — презентация

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемВиктория Шумилкина

Похожие презентации

Презентация на тему: » КомбинаторикаКомбинаторика. Цель урока: Рассмотреть, что изучает комбинаторика, ввести правила суммы и произведения и показать их применение при решении.» — Транскрипт:

2 Цель урока: Рассмотреть, что изучает комбинаторика, ввести правила суммы и произведения и показать их применение при решении задач.

4 1. Комбинаторика. Комбинаторика это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами. К комбинаторным задачам также относятся задачи построения математических квадратов, задач расшифровки и кодирования. Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля ( ) и Пьера Ферма ( ) по теории азартных игр. Основные правила комбинаторики – это правила суммы и произведения.

5 2. Правило суммы Если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В — n способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать m+n способами. Запись в тетради: А — m способов; В — n способов; А или В — (m+n) способов. Например: если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5+6=11 способами. Обратите внимание на то, что выбирается не просто яблоко или груша, а один конкретный плод — это / яблоко или эта груша.

6 3. Правило произведения. Если элемент А можно выбрать m способами, элемент В можно выбрать n способами, то пару А и В можно выбрать mn способами. Запись в тетради. А m способов; В — n способов; (А и В) — (mn) способов. Например: если есть 2 разных конверта, 3 разные марки, то выбрать то выбрать конверт и марку можно 2*3=6 способами. Обратите внимание — выбирается пара конверт и марка. Правило произведения верно и в том случае, когда рассматриваются элементы нескольких множеств. Например: если есть 2 разных конверта и 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 2*3*4=24 способами.

8 Задача 1 Решить задачу, предварительно определив, сколько элементов надо выбрать (т. е. на какое правило задача). Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?

9 Решение: Выбирается 1 роза. Правило суммы 3+2+4=9 (способов).

10 ЗАДАЧА 2. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из 2 блюд можно заказать?

11 Решение: Выбирается 2 блюда. Правило произведения 4. 7=28 (вариантов).

12 Задача 3. На блюде лежат 7 яблок 3 груши и 4 апельсина а) сколькими способами можно взять с блюда 1 плод; б) сколькими способами можно взять: (яблоко с грушей); (яблоко с апельсином); (грушу с апельсином); в) сколькими способами можно взять 2 фрукта с разными названиями.

13 Решение: а) выбирается 1 плод. Правило суммы 7+3+4=14; б) выбирается 2 плода. Правило произведения: (7. 3=21 способ ), (7. 4=28 способов ), (3. 4=12 способов ); в) применяются оба правила. Сначала — правило произведения (выбирается пара) и затем – правило суммы (эта пара рассматривается как единое целое) = =61 (способ ).

14 Задача 4. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

15 Решение: 1-й способ (перебор) Ответ: 9 чисел. 2-й способ (использование формулы) — двузначное число. Способ записи числа 3. 3=9

16 3-й способ (построение дерева)

17 Задача 5. В пакете драже лежат 9 красных,10 синих и 12 зелёных конфет. а) сколькими способами можно взять 1 конфету? б) сколькими способами можно взять: красную и синюю конфеты; красную и зеленую конфеты; синюю и зеленую конфеты. в) сколькими способами взять 2 конфеты разного цвета.

18 Решение: а) =31(способ) б) 1) 9. 10=90(способов), 2) 9. 12=108 (способов), 3)10. 12=120(способов) в) =318(способов)

19 Задача 6 Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5,если цифры могут повторяться?

20 Решение: 1-й способ (перебор) (8 чисел) 2-й способ (формула) =8 (чисел)

21 Задача 7 Сколько различных флагов можно сшить из материи 3-х цветов : красного, синего и белого, если каждый должен состоять из 3-х равных горизонтальных полос разного цвета?

22 Решение Вариантов решения этой задачи немного, их можно последовательно перебрать. К К С С Б Б С Б Б К С К Б С К Б К С Есть ли среди них флаг России?

23 Задача 8. От Кащея до Бабы-Яги ведут 3 дороги, а от Бабы-Яги до Кикиморы 2 дороги. Сколькими способами можно пройти от Кащея до Кикиморы, заходя к Бабе-Яге?

24 Решение: Каждый из 3-х путей, ведущих от Кащея к Бабе-Яге, можно продолжить двумя способами, значит получаем 3. 2=6 различных путей. Баба Яга КащейКикимора

25 Задача 9. В корзине сидят котята — 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы они все были разной окраски?

26 Решение: По условию, полосатого котенка надо выбирать всегда, то есть способ выбора всего один. Черного котенка можно выбрать двумя способами; рыжего – тоже двумя. Всего получаем: =4 способа.

27 Подведение итогов. Оцените степень вашего усвоения материала: а) усвоил полностью, могу применить; б) усвоил полностью, но затрудняюсь в применении; в) не усвоил.

Методическая разработка по алгебре (6 класс) по теме:
Комбинаторика,правила суммы и произведения.

Методическая разработка урока математики для учащихся 5-6 классов по теме «Комбинаторика,правила суммы и произведения».

Предварительный просмотр:

Комбинаторика, правила суммы и произведения

С.Д. Бобровская, Пушкинский район,

Цели урока: введение понятия комбинаторики; знакомство с основными правилами комбинаторики; развитие логического мышления.

— введение понятия комбинаторики; подготовительная задача;

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основные вопросы, задаваемые в комбинаторных задачах: сколькими способами? сколько вариантов? и т.п.

На блюде 7 яблок, 4 мандарина и 5 груш. Найдите количество способов, которыми можно взять с блюда

б) грушу и мандарин;

в) яблоко и грушу;

г) яблоко и мандарин;

д) два фрукта с различными названиями.

Задачу а) учащиеся, конечно, решат без труда. Каждый понимает, что если на блюде 7 яблок, то взять любое из них можно семью различными способами. Тогда взять с блюда один плод можно 7+4+5=16 способами.

Для решения задачи б) можно изобразить «дерево возможностей»:

Как видно из рисунка, грушу и мандарин можно взять с блюда 20 различными способами. Учащиеся сами сообразят, что этот результат можно получить, умножив 5 на 4. Тогда они легко самостоятельно решат задачи в) и г): в) 7∙5=35; г) 7∙4=28.

Теперь несложно решить и задачу д). Пары фруктов с разными названиями – это груша и мандарин, яблоко и груша, яблоко и мандарин. Поэтому, чтобы найти, сколькими способами можно взять с блюда два фрукта с различными названиями, нужно просто сложить результаты задач б), в) и г): 20+35+28=83.

Правило суммы: если элемент a из некоторой совокупности элементов можно выбрать m различными способами, и независимо от этого элемент b – n способами, то выбрать a или b можно n+m способами.

Правило произведения : если элемент a из некоторой совокупности элементов можно выбрать m различными способами, и независимо от этого элемент b – n способами, то выбрать a и b вместе можно n∙m способами.

1. Сколько существует

в) n-значных натуральных чисел?

в) 9∙10∙10∙…∙10=9∙10 n-1

2. Каково максимальное количество абонентов могут обслуживаться одной сотовой сетью, если номер семизначный?

Эта задача аналогична задаче на составление семизначного числа. Отличие состоит лишь в том, что число не может начинаться с нуля, а телефонный номер – может. Поэтому семизначных номеров 10 7 =10000000.

Ответ: десять миллионов абонентов могут обслуживаться в одной сотовой сети.

3. Каково максимальное количество абонентов могут обслужить операторы всех сотовых сетей?

Номер сети состоит из трех знаков, причем первая цифра во всех сетях одинаковая: 9. Поэтому эта задача сводится к решению задачи на составление девятизначного числа, которое может начинаться с нуля. Поэтому все сотовые сети могут обслужить 10 9 =1000000000 абонентов.

Ответ: один миллиард абонентов.

4. Каких чисел — полиандромов больше, семизначных или восьмизначных?

Полиандромы – это такие числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. У семизначного числа – полиандрома на первой позиции может стоять любая из девяти цифр, на второй, третьей и четвертой позициях – любая из десяти. А вот на пятой, шестой и седьмой позициях цифры уже зафиксированы. Таким образом, по правилу произведения семизначных чисел – полиандромов 9∙10∙10∙10∙1∙1∙1=9000. Восьмизначных чисел – полиандромов 9∙10∙10∙10∙1∙1∙1∙1=9000. Так что семизначных и восьмизначных чисел – полиандромов поровну.

5. Сколько существует всевозможных четырехзначных чисел, состоящих из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 и содержащих ровно одну тройку?

Цифра «3» может занимать любую из четырех позиций. В силу того, что для записи используются всего лишь семь цифр, то на первой позиции, если там не тройка, может находиться любая из пяти цифр, так как нуль не может стоять на первой позиции, а тройка зафиксирована. На остальных позициях, где нет тройки, может находиться любая из шести цифр. Изобразим схему заполнения позиций:

В таком случае, по правилу произведения четырехзначных чисел, начинающихся с тройки, 6 3 , а с тройкой во второй, третьей и четвертой позициях 5∙6 2 . Таким образом, всего четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и содержащих ровно одну тройку по правилу сложения 6 3 +5∙6 2 ∙3=36∙(6+15)=36∙21=756.

6. Сколько существует четырехзначных чисел, кратных пяти и состоящих из цифр 0, 2, 5, 7, 9, если каждое число состоит из различных цифр?

Числа, кратные пяти, оканчиваются на «0» или «5». На первой позиции может находиться любая из предложенных пяти цифр, кроме нуля и зафиксированной последней цифры. Изобразим схему заполнения позиций:

Таким образом, чисел, составленных из предложенных цифр и оканчивающихся на «0» по правилу произведения 4∙3∙2=24, а оканчивающихся на «5» 3∙3∙2=18. Всего чисел, кратных пяти, по правилу сложения 24+18=42.

7. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых присутствует хотя бы одна четная цифра?

По правилу произведения всего шестизначных чисел 9∙10 5 =900000. Для составления чисел, в которых нет ни одной четной цифры, используются пять цифр, поэтому таких чисел 5 6 =15625. Таким образом, чтобы найти количество шестизначных чисел, в которых присутствует хотя бы одна четная цифра, нужно из числа всех возможных вариантов вычесть число неблагоприятных: 900000-15625=884375.

Домашняя самостоятельная работа:

Сколько можно составить трехсимвольных сочетаний из 33 букв русского алфавита, если

а) в каждой тройке буквы различны;

б) буквы не обязаны различаться;

в) никакие две одинаковые буквы не идут подряд;

г) первая и третья буквы – согласные, вторая – гласная;

Тема 2.1. Элементы комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. – 4 часа 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Элементы комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности, задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «Сколькими способами?».

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух важных правил, называемых соответственно: правило сложения и правило умножения.

Правило умножения

Если из некоторого конечного множества первый объект (элемент а) можно выбрать n1 способами, и после каждого такого выбора второй объект (элемент b) можно выбрать n2 способами, то оба объекта (a и b) в указанном порядке можно выбрать n1·n2 способами.

Это правило распространяется на случай трех и более объектов.

Правило сложения (суммы)

Если некоторый объект a можно выбрать n1 способами, а объект b можно выбрать n2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (a или b), можно выбрать (n1 + n2) способами.

Это правило распространяется на любое конечное число элементов.

Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 2.1.

Задача 1-Т2.1. Одновременно бросаются два игральных кубика (игральные кости). Найти вероятность того, что сумма очков: а) равна 1; б) меньше 13; в) меньше 5; г) меньше 10.

Задача 2-Т2.1 (для самостоятельного решения). Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколько имеется вариантов – комбинаций выброшенных очков?

Задача 3–Т2.1. В чемпионате по футболу, который проводится по системе «одного круга», участвовало 7 команд. Каждая команда сыграла по одной игре с каждой командой. Сколько всего было игр?

Задача 4-Т2.1. Пусть из пункта А в пункт В имеется 5 дорог, а из пункта В в пункт С – 6 дорог.

1) Сколько существует различных вариантов проезда из А в С?

2) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта А в пункт В и обратно?

3) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта А в пункт В и обратно при условии, что дороги туда и обратно будут разными?

Задача 5-Т2.1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если

а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Задача 6-Т2.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5 и 7, если а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Задача 7-Т2.1 (самостоятельно). В одной из стран автомобильные номера из четырех цифр (нуль может стоять и на первом месте) записываются на пластинках пяти различных цветов, поскольку каждый из пяти штатов этой страны имеет номера своего цвета. Сколько разных пластин с номерами может быть выдано автовладельцам в этой стране?

Задача 8-Т2.1 (самостоятельно). Десять участников конференции обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку другим участникам). Сколько всего карточек было роздано?

Задача 9-Т2.1 (самостоятельно). Десять участников конференции обменялись рукопожатиями, пожав руку каждому. Сколько всего рукопожатий было сделано?

Задача 10-Т2.1. На 10 карточках написаны буквы: А, А, А, А, А, Р, Р, Р, Д, Д. Наугад берется 5 карточек и прикладывается одна к другой слева направо. Какова вероятность того, что случайно будет сложено слово «РАДАР»?

Задача 11-Т2.1. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами для выполнения различных упражнений в парах можно выбрать студентов одного пола?

Задача 12-Т2.1. В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика наудачу вынимают один шар. Определить, какова вероятность, что извлеченный шар окажется цветным.

Задача 13-Т2.1. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 участвующих в соревновании студентов?

Задача 14–Т2.1. Из колоды в 36 карт наугад последовательно без возвращения вытянуто две карты. Найти вероятность того, что обе они – тузы.

Задача 15-Т2.1. Игральную кость бросают четыре раза. Что более вероятно: то, что шестерка появится хотя бы один раз, или же, что шестерка не появится ни разу?

Еще по теме:

  • Правило треугольника вычитание Правило треугольника вычитание Суммой двух векторов \(\mathbf\) и \(\mathbf\) называется третий вектор \(\mathbf\), проведенный из начала \(\mathbf\) к концу \(\mathbf\), если начало вектора \(\mathbf\) совпадает с концом вектора \(\mathbf\). Сложение векторов выполняется по правилу […]
  • Виды делегирования полномочий в то Делегирование полномочий (основные методы) В данной статье мы подробно и на доступном языке рассмотрим, что такое делегирование полномочий (основные методы), а также этапы, виды и принципы которым следует придерживаться. По сути, делегирование – это: - передача власти, задания, […]
  • Приказ о приеме с испытательным сроком образец Трудовой договор: срок испытания Обновление: 17 мая 2016 г. Если работодатель при трудоустройстве работника пожелал проверить соответствие его деловых качеств той должности, на которую работник принимается, он вправе включить условие о такой проверке (испытании) в трудовой договор. Срок […]
  • Федеральный закон о трудовой деятельности Федеральный закон от 25 июля 2002 г. N 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 25 июля 2002 г. N 115-ФЗ"О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации" С изменениями и дополнениями […]
  • Eset nod32 и реестр Как удалить eset smart security 5 ? Удаляем ESET NOD32 file on-access scanner В некоторых случаях после деинсталляции антивируса ESET NOD32 стандартными средствами и перезагрузки компьютера в системном реестре операционной системы могут остаться записи, по причине которых невозможно […]
  • Правила умножения степеней Свойства степени Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов. Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, […]
  • Закон об образовании в мордовии Статья по теме: РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАКОНА РЕСПУБЛИКИ МОРДОВИЯ ОТ 8 АВГУСТА 2013 Г. № 53-З "ОБ ОБРАЗОВАНИИ В РЕСПУБЛИКЕ МОРДОВИЯ" В работе освещаются основные положения нового закона "Об образовании в Республике Мордовия" Предварительный просмотр: Управление образования Администрации городского […]
  • Среднеарифметическое правило Среднее арифметическое Определение. Среднее арифметическое нескольких величин — это отношение суммы величин к их количеству. Примером среднего арифметического служат такие показатели, как урожайность, производительность, посещаемость, скорость движения на определенном участке. Вычисление […]