Как записать закон движения точки

Лекции и примеры решения задач механики

Естественный способ задания движения точки

При естественном способе задания движения предполагается определение параметров движения точки в подвижной системе отсчета, начало которой совпадает с движущейся точкой, а осями служат касательная, нормаль и бинормаль к траектории движения точки в каждом ее положении.

  • τ — орт касательной;
  • n — орт нормали;
  • b — орт бинормали;

Единичные орты τ, n, b определяют направление соответствующих осей в каждой точке кривой.

Чтобы задать закон движения точки естественным способом необходимо:

  1. знать траекторию движения;
  2. установить начало отсчета на этой кривой;
  3. установить положительное направление движения;
  4. дать закон движения точки по этой кривой, т.е. выразить расстояние от начала отсчета до положения точки на кривой в данный момент времени ∪OM=S(t).

Зная эти параметры можно найти все кинематические характеристики точки в любой момент времени (рисунок 1.5).

Скорость и ускорение точки

Скорость точки определяется по формулам

Первая формула определяет величину и направление вектора скорости, вторая формула только величину.

Ускорение определяется как производная от вектора скорости:

оно характеризует быстроту изменения величины скорости точки;

Нормальное ускорение точки

характеризует быстроту изменения направления вектора скорости;

ρ — радиус кривизны траектории в данной точке (например, для окружности: ρ = R, для прямой линии ρ = ∞).

Полное ускорение точки определяется следующим образом (рисунок 1.5):

Ранее отмечалось, что всегда можно перейти от одного способа задания закона движения точки к другому, например, от координатного к векторному. Поэтому, преобразовывая одни и те же формулы, можно получить другое их написание.

Как записать закон движения точки

Дифференциальное уравнение движения имеет следующий общий вид:

Переходим к переменной и рассматриваем уравнение первого порядка

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

после чего берем интегралы от обеих частей. Воспользовавшись определенным интегрированием, запишем:

Если интеграл в правой части берется, отсюда находим

где — известная функция времени. Заменяем его выражением :

снова разделяем переменные и интегрируем в соответствующих пределах:

Последнее равенство определяет искомый закон движения точки. Задачу можно решать и при помощи неопределенных интегралов. В этом случае при каждом интегрировании не нужно забывать вводить произвольную постоянную интегрирования.

Пример. На тело массы , расположенное на неподвижной горизонтальной плоскости, начинает действовать постоянная по направлению горизонтальная сила где t — время в секундах, а — заданный постоянный коэффициент. Одновременно с приложением силы телу сообщается в направлении силы скорость .

Принимая тело за материальную точку и пренебрегая трением, определить закон движения тела.

Решение. Выберем начало координат в начальном положении точки, ось совместим с общим направлением силы F и начальной скорости Движение начинается в момент . В текущий момент тело находится в некотором положении М, определяемом координатой (рис. 5). На тело действуют сила F, оговоренная в условии задачи, а также сила тяжести и нормальная реакция N плоскости. Так как силы и N перпендикулярны оси , их проекции на эту ось равны нулю. Сила F проектируется в натуральную величину с положительным знаком: . Так же в натуральную величину с положительным знаком проектируется и текущая скорость тела: . Составляем дифференциальное уравнение движения, которое сразу записываем в виде уравнения первого порядка

После разделения переменных и интегрирования будем иметь

Полагаем , снова разделяем переменные и интегрируем:

Постоянные интегрирования определяем по начальным условиям, которые имеют вид:

Для этого подставляем начальные условия в результат первого и второго интегрирования и находим:

Теперь можем записать искомое уравнение движения тела

Московский государственный университет печати

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 «Полиграфические машины и автоматизированные комплексы»

Законы трения скольжения

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в зависимости от действующих на них сил.

Силы в динамике переменные и могут зависеть от времени, положения тела и от его скорости.

К понятию инертности можно придти, если сравнить результаты действия одной силы на разные тела.

Свойство тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил называется инертностью.

Количественной мерой инертности является масса тела (мера гравитационных свойств тела). Массу данного тела будем считать постоянной (за исключением особо обговариваемых случаев). Чтобы отвлечься от формы тела вводится понятие материальной точки.

Материальной точкой называется материальное тело, имеющее массу, размерами которого при изучении движения можно пренебречь.

В динамике тело, движущееся поступательно можно считать материальной точкой.

В основе динамики лежат законы, которые изложил Ньютон в 1687 году. Эти три закона называют еще аксиомами Галилея-Ньютона, так как первый закон был открыт Галилеем еще в 1638 году.

1. Закон инерции . Материальное тело (точка) сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не заставят его изменить это состояние. Итак, если сила » />, действующая на тело, равна нулю, то его скорость » />=const, а ускорение » />= 0 .

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной.

2. Основной закон . Ускорение материального тела (точки) пропорционально приложенной к нему силе и имеет одинаковое с ней направление.

Этот закон показывает, как меняется скорость тела под действием сил. Второй закон Ньютона обычно записывают в форме Эйлера (1736 г.)

» />

» />

Произведение массы тела на ускорение, которое оно получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Второй закон выполняется по отношению к инерциональной системе отсчета.

Несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме.

Это закон независимости действия сил. Применяя его, основной закон можно переписать как

» />

Масса есть мера инертности материальных тел при их поступательном движении. Из (13.1.2) получаем

» />

Если применить данное уравнение к телу веса G и учесть, что ускорение свободного падения равно g, то имеем:

» />

Что позволяет, зная массу тела, определить его вес и наоборот. Все тела G, так же как и ускорение g может изменяться, но масса является для данного тела неизменной.

3. Закон равенства действия и противодействия

Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие. Закон устанавливает характер механического взаимодействия между телами. Два материальных тела (точки) действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки (тела) в противоположные стороны.

Данный параграф мы посвятим задачам динамики для свободной и несвободной материальной точки. Собственно задач две:

1 Зная закон движения точки, определить действующую на нее силу.

2. Зная действующие на точку силы, определить закон движения точки (основная задача динамики).

Всякую несвободную материальную точку, можно рассматривать как свободную, отбросив связь и заменив ее действие реакцией этой связи » />. Тогда основной закон динамики для несвободного движения будет:

» />

При решении первой задачи динамики необходимо хорошо помнить три закона динамики и применять их в задачах.

При решении задач второй группы необходимо рассматривать дифференциальные уравнения движения.

При прямолинейном движении скорость » /> и ускорение » /> направлены вдоль одной прямой. Так как ускорение » /> и сила » /> совпадают по действию, то точка будет двигаться прямолинейно тогда, когда действующая на нее сила имеет постоянное направление.

Пусть дана материальная точка массы m, которая движется под действием силы » /> ( рис. 70 )

Положение точки М определяется координатой х.

Основная задача динамики: зная » />, найти

Связь между х и » /> дает уравнение (13.1.3):

Проектируя его на ось Ох, получаем:

» />

Это дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки.

Это уравнение можно записать по иному:

» />

Чтобы найти зависимость х = f(t) необходимо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение.

Так как силы зависят от времени, положения и скорости точки, то в общем виде задача сводится к решению дифференциального уравнения второго порядка:

» />

Решение в конкретном случае зависит от вида правой части. После интегрирования в решение войдут две константы » /> и общее решение будет

» />

Чтобы получить частное решение используют начальные условия:

1. Начальный момент времени

2. Начальное положение

3. Начальная скорость

Например: при » />

Определяем » /> и тогда частное решение будет

» />

Пусть на тело действует постоянная по модулю и направлению сила » />, тогда первое уравнение (13.2.4) запишется как

» />

Разделяем переменные и учитывая, что » />= const, m = const получаем:

» />

Подставляем это значение vxbo второе уравнение (13.2.4)

» />

Снова разделяем переменные и интегрируем

» />

Получаем общее решение

» />

Используем начальные условия (13.2.8) и из (13.2.10) находим, что » />, а из (13.2.11), что » />.

Подставляем значения » /> в (13.2.11) и частное решение будет следующим

» />

Пусть точка движется под действием системы сил » />

Введем неподвижную систему отсчета Oxyz ( рис. 71 )

Проектируем уравнение движения (13.1.13) на оси координат

» />

Это и есть дифференциальные уравнения криволинейного движения точки в проекциях на оси координат.

Эти уравнения позволяют решать как первую так и вторую (основную) задачи динамики.

Чтобы решить основную задачу динамики надо задать начальные условия, то есть положение и скорость точки в начальный момент в системе Oxyz:

» />

Проинтегрировав уравнения движения (13.3.1), получим координаты х, у, z движущейся точки как функции времени. Решения содержат шесть постоянных » />, которые находят по начальным условиям (13.3.2).

В качестве примера криволинейного движения рассмотрим движение точки брошенной под углом к горизонту в однородном поле тяжести.

Пусть дана точка массы т выброшенная из начала координат О с начальной скоростью » />, под углом » /> к горизонту ( рис. 72 )

Пусть сила тяжести будет постоянной Р = const и сила сопротивления воздуха равна нулю » />= 0 . На точку действует лишь сила тяжести. Выпишем ее проекции на оси координат:

» />

Подставляя эти значения в уравнения движения получаем

» />

или через первые производные

» />

Разделяя переменные и, интегрируя, имеем:

» />

Распишем начальные условия (13.3.2) для нашего случая:

» />

Используя их, из (13.3.4) получаем

» />

Подставляя вычисленные значения » /> в (13.3.4) запишем:

» />

Разделяя переменные и интегрируя еще один раз имеем:

» />

Используя начальные условия (13.3.5) найдем

» />

Окончательно уравнения движения запишутся как

» />

Имея уравнения движения, можно рассмотреть основные характеристики данного движения:

1. Траектория . Исключив из уравнений (13.3.10) параметр t, получим уравнение траектории

» />

впервые установленную Галилеем (парабола).

2. Горизонтальная дальность : Ордината у равна нулю в двух случаях, при начальном вылете и при касании земли в момент падения. Итак, у = 0, и из уравнения (13.3.11) получаем два корня:

» />

Траектория называется: настильной если » />; навесной, если » />.

Наибольшая дальность S будет при » />, когда » />. Мы положили » />, и не рассматриваем движение тела в сопротивляющейся среде.

3. Высота траектории . Так как парабола (13.3.11) имеет симметричные ветви, то ее вершина будет иметь абсциссу

» />

4. Время полета . При » />, из (13.3.10) получаем:

» />

Как записать закон движения точки

1.3. Равномерное движение

Простейшим видом механического движения является движение тела вдоль прямой линии с постоянной по модулю и направлению скоростью . Такое движение называется равномерным . При равномерном движении тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути. Для кинематического описания равномерного прямолинейного движения координатную ось OX удобно расположить по линии движения. Положение тела при равномерном движении определяется заданием одной координаты x . Вектор перемещения и вектор скорости всегда направлены параллельно координатной оси OX . Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроектировать на ось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины.

Если в некоторый момент времени t 1 тело находилось в точке с координатой x 1 , а в более поздний момент t 2 – в точке с координатой x 2 , то проекция перемещения Δ s на ось OX за время Δ t = t 2 – t 1 равна

Эта величина может быть и положительной и отрицательной в зависимости от направления, в котором двигалось тело. При равномерном движении вдоль прямой модуль перемещения совпадает с пройденным путем. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение

Если υ > 0 , то тело движется в сторону положительного направления оси OX ; при υ

Для закона движения, изображенного на графике I (рис. 1.3.1), при t = 0 тело находилось в точке с координатой x 0 = –3 . Между моментами времени t 1 = 4 с и t 2 = 6 с тело переместилось от точки x 1 = 3 м до точки x 2 = 6 м . Таким образом, за Δ t = t 2 – t 1 = 2 с тело переместилось на Δ s = x 2 – x 1 = 3 м . Следовательно, скорость тела составляет

Величина скорости оказалась положительной. Это означает, что тело двигалось в положительном направлении оси OX . Обратим внимание, что на графике движения скорость тела может быть геометрически определена как отношение сторон BC и AC треугольника ABC (см. рис. 1.3.1)

Чем больше угол α , который образует прямая с осью времени, т. е. чем больше наклон графика ( крутизна ), тем больше скорость тела. Иногда говорят, что скорость тела равна тангенсу угла α наклона прямой x ( t ) . С точки зрения математики это утверждение не вполне корректно, так как стороны BC и AC треугольника ABC имеют разные размерности : сторона BC измеряется в метрах, а сторона AC – в секундах.

Аналогичным образом для движения, изображенного на рис. 1.3.1 прямой II, найдем x 0 = 4 м , υ = –1 м/с .

На рис. 1.3.2 закон движения x ( t ) тела изображен с помощью отрезков прямых линий. В математике такие графики называются кусочно-линейными . Такое движение тела вдоль прямой не является равномерным . На разных участках этого графика тело движется с различными скоростями, которые также можно определить по наклону соответствующего отрезка к оси времени. В точках излома графика тело мгновенно изменяет свою скорость. На графике (рис. 1.3.2) это происходит в моменты времени t 1 = –3 с , t 2 = 4 с , t 3 = 7 с и t 4 = 9 с . По графику движения нетрудно найти, что на интервале ( t 2; t 1 ) тело двигалось со скоростью υ12 = 1 м/с , на интервале ( t 3; t 2 ) – со скоростью υ23 = –4/3 м/с и на интервале ( t 4; t 3 ) – со скоростью υ34 = 4 м/с .

Следует отметить, что при кусочно-линейном законе прямолинейного движения тела пройденный путь l не совпадает с перемещением s . Например, для закона движения, изображенного на рис. 1.3.2, перемещение тела на интервале времени от 0 с до 7 с равно нулю ( s = 0 ). За это время тело прошло путь l = 8 м .

1. Способы задания движения точки в заданной системе отсчета

3. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

1. Способы задания движения точки в заданной системе отсчета

Основными задачами кинематики точки являются:

1. Описание способов задания движения точки.

2. Определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения) по заданному закону движения.

Механическое движение − изменение положения одного тела относительно другого (тела отсчета), с которым связана система координат, называемая системой отсчета .

Геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траектория точки.

Задать движение − это дать способ, с помощью которого можно определить положение точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета. К основным способам задания движения точки относятся:

векторный, координатный и естественный .

1.Векторный способ задания движения (рис. 1).

Положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки, связанной с телом отсчета: − векторное уравнение движения точки.

2.Координатный способ задания движения (рис. 2).

В этом случае задаются координаты точки как функции времени:

— уравнения движения точки в координатной форме.

Это и параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них . В случае пространственной траектории, исключив , получим:

В случае плоской траектории

исключив , получим:

или .

3. Естественный способ задания движения (рис. 3).

В этом случае задаются:

2)начало отсчета на траектории,

3) положительное направление отсчета,

4)закон изменения дуговой координаты: .

Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна.

2. Скорость и ускорение точки

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени (рис. 4):

.

Тогда − средняя скорость точки за промежуток времени .

Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при :

.

Скорость точки − это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Среднее ускорение характеризует изменение вектора скорости за малый промежуток времени (рис. 5).

Ускорение точки в данный момент времени находится как предел среднего ускорения при :

.

Ускорение точки − это мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости этой точки или второй производной от радиус-вектора точки по времени .

.

Ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по величине и направлению. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории.

3. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением

(рис. 6).

Из определения скорости:

.

Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени

, , . .

Модуль и направление скорости определяются выражениями:

,

.

Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по времени

Из определения ускорения:

.

Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени:

, , .

Модуль и направление ускорения определяются выражениями:

,

, , .

4 Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

4.1 Естественные оси.

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения

Естественные оси (касательная, главная нормаль, бинормаль) − это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Их положение определяется траекторией движения. Касательная (с единичным вектором ) направлена по касательной в положительном направлении отсчета дуговой координаты и находится как предельное положение секущей, проходящей через данную точку (рис.9). Через касательную проходит соприкасающаяся плоскость (рис. 10), которая находится как предельное положение плоскости p при стремлении точки M1 к точке M. Нормальная плоскость перпендикулярна касательной. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей − главная нормаль. Единичный вектор главной нормали направлен в сторону вогнутости траектории. Бинормаль (с единичным вектором ) направлена перпендикулярно касательной и главной нормали так, что орты , и образуют правую тройку векторов. Координатные плоскости введенной подвижной системы координат (соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образуют естественный трехгранник, который перемещается вместе с движущейся точкой, как твердое тело. Его движение в пространстве определяется траекторией и законом изменения дуговой координаты.

Из определения скорости точки

,

где , − единичный вектор касательной.

, .

Алгебраическая скорость − проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.

Из определения ускорения

,

− переменный по направлению вектор и

.

Производная определяется только видом траектории в окрестности данной точки, при этом, вводя в рассмотрение угол поворота касательной, имеем , где − единичный вектор главной нормали, − кривизна траектории, − радиус кривизны траектории в данной точке.

Таким образом ,

т.е. вектор ускорения раскладывается на две составляющие – касательное и нормальное ускорения , , ,

где − алгебраическое значение касательного ускорения (проекция вектора ускорения на касательную) характеризует изменение скорости по величине; − нормальное ускорение (проекция вектора ускорения на нормаль) характеризует изменение скорости по направлению. Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости, проекция ускорения на бинормаль равна нулю ( ) .

Еще по теме:

  • Для работы java необходимо разрешение Почему не работает Java и как его включить в браузере? Многие пользователи интернет зачастую сталкиваются с тем, что на сайтах не работает выпадающее меню, не проигрываются видеоролики, ничего не происходит при нажатии на кнопки и пр. Или, к примеру, не показываются картинки, а вместо […]
  • Новые правила по электробезопасности 3 группа Допуск по электробезопасности. Проверка знаний. Допуск по электробезопасности, порядок присвоения группы по электробезопасности осуществляется в соответствии с Правилами технической эксплуатации электроустановок потребителей. Проверка знаний по электробезопасности проводится со 2 группы […]
  • Налог на землю многоквартирного дома 2014 Недвижимость Рыночный гид Квартиры обложат земельным налогом Налог на земельный участок под многоквартирным домом может увеличиться Собственники квартир в новостройках могут начать платить повышенный налог на земельный участок под домом из-за завышенной кадастровой стоимости. […]
  • Борис кузнецов прокурор Прокуратура не усмотрела коррупции в действиях Бориса Кузнецова Прокуратура Саратовской области провела проверку на предмет наличия признаков коррупционного поведения в деятельности Бориса Кузнецова на посту директора ФБУ «Саратовский ЦСМ им. Б.А Дубовикова». Об этом говорится в […]
  • Ростов на дону следственный комитет СУ СК России по Ростовской области Информация Описание: Официальная страница Следственного управления Следственного комитета России по Ростовской области 118 записей Руководитель следственного управления проведет личный прием граждан в Волгодонске 15 августа 2018 года с 12.00 до 13.00 […]
  • Закон 210 от 30122004 Федеральный закон от 30 декабря 2004 г. N 210-ФЗ "Об основах регулирования тарифов организаций коммунального комплекса" (с изменениями и дополнениями) (утратил силу) Федеральный закон от 30 декабря 2004 г. N 210-ФЗ"Об основах регулирования тарифов организаций коммунального комплекса" С […]
  • Госпошлина на водительские права 2018 года Увеличение стоимости водительского удостоверения Совсем недавно у автолюбителей появились новые обязанности по ПДД, которые касались необходимости приобретения светоотражающих жилетов, новых правил тонировки стекол, но как оказалось, это еще не все. У правительства уже готов новый […]
  • Как проверить платит ли организация налоги ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ Подписка на новости Письмо для подтверждения подписки отправлено на указанный вами e-mail. 06 октября 2015 Нарьян-Мар, 6 октября 2015 года. Отделение Пенсионного фонда России по Ненецкому автономному округу призывает работающих граждан […]