Закон ома при резонансе

Закон Ома для переменного тока

Мы с вами знаем формулировку закона Ома для цепей постоянного тока, которая гласит, что ток в такой цепи прямо пропорционален напряжению на элементе цепи и обратно пропорционален сопротивлению этого элемента постоянному току, протекающему через него.

Однако при изучении цепей переменного тока стало известно, что оказывается кроме элементов цепей с активным сопротивлением, есть элементы цепи с так называемым реактивным сопротивлением, то есть индуктивности и емкости (катушки и конденсаторы).

В цепи, содержащей только активное сопротивление, фаза тока всегда совпадает с фазой напряжения (рис 1.), т. е. сдвиг фаз тока и напряжения в цепи с чисто активным сопротивлением равен нулю.

Рисунок 1. Напряжение и ток в цепи с чисто активным сопротивлением. Сдвиг фаз между током и напряжение в цепи переменного тока с чисто активным сопротивлением всегда равен нулю

Отсюда следует, что угол между радиус-векторами тока и напряжения также равен нулю.

Тогда, падение напряжения на активном сопротивлении определяется по формуле:

где, U-напряжение на элементе цепи,

I – ток через элемент цепи

R – активное сопротивление элемента

Формула (1) применима как для амплитудных, так и для эффективных значений тока и напряжения:

где, Um-амплитудное значение напряжения на элементе цепи,

Im – амплитудное значение тока через элемент цепи

R – активное сопротивление элемента

В цепи, содержащей чисто реактивное сопротивление — индуктивное или емкостное, — фазы тока и напряжения сдвинуты друг относительно друга на четверть периода, причем в чисто индуктивной цепи фаза тока отстает от фазы напряжения (рис. 2), а в чисто емкостной цепи фаза тока опережает фазу напряжения (рис. 3).

Рисунок 2. Напряжение и ток в цепи с чисто индуктивным сопротивлением. Фаза тока отстает от фазы напряжения на 90 градусов.

Рисунок 3. Напряжение и ток в цепи с чисто емкостным сопротивлением. Фаза тока опережает фазу напряжения на угол 90 градусов.

Отсюда следует, что в чисто реактивной цепи угол между радиус-векторами тока и напряжения всегда равен 90°, причем в чисто индуктивной цепи радиус-вектор тока при вращении движется позади радиус-вектора напряжения, а в чисто емкостной цепи он движется впереди радиус-вектора напряжения.

Падения напряжения на индуктивном и емкостном сопротивлениях определяются соответственно по формулам:

Закон ома при резонансе

2.4. Закон Ома для цепи переменного тока. Мощность.

В § 2.3 были выведены соотношения, связывающие амплитуды переменных токов и напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности:

Эти соотношения во виду напоминают закон Ома для участка цепи постоянного тока, но только теперь в них входят не значения постоянных токов и напряжений на участке цепи, а амплитудные значения переменных токов и напряжений .

Соотношения (*) выражают закон Ома для участка цепи переменного тока , содержащего один из элементов R , L и C . Физические величины R , и ω L называются активным сопротивлением резистора , емкостным сопротивлением конденсатора и индуктивным сопротивлением катушки .

При протекании переменного тока по участку цепи электромагнитное поле совершает работу, и в цепи выделяется джоулево тепло. Мгновенная мощность в цепи переменного тока равна произведению мгновенных значений тока и напряжения: p = J · u . Практический интерес представляет среднее за период переменного тока значение мощности

Здесь I 0 и U 0 – амплитудные значения тока и напряжения на данном участке цепи, φ – фазовый сдвиг между током и напряжением. Черта означает знак усреднения. Если участок цепи содержит только резистор с сопротивлением R , то фазовый сдвиг φ = 0 :

Для того, чтобы это выражение по виду совпадало с формулой для мощности постоянного тока, вводятся понятия действующих или эффективных значений силы тока и напряжения:

Средняя мощность переменного тока на участке цепи, содержащем резистор, равна

Если участок цепи содержит только конденсатор емкости C , то фазовый сдвиг между током и напряжением Поэтому

Аналогично можно показать, что P L = 0 .

Таким образом, мощность в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении. Средняя мощность переменного тока на конденсаторе и катушке индуктивности равна нулю.

Рассмотрим теперь электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки. Цепь подключена к источнику переменного тока частоты ω. На всех последовательно соединенных участках цепи протекает один и тот же ток. Между напряжением внешнего источника e ( t ) и током J ( t ) возникает фазовый сдвиг на некоторый угол φ. Поэтому можно записать

Такая запись мгновенных значений тока и напряжения соответствует построениям на векторной диаграмме (рис. 2.3.2). Средняя мощность, развиваемая источником переменного тока, равна

Как видно из векторной диаграммы, U R = 0 · cos φ , поэтому Следовательно, вся мощность, развиваемая источником, выделяется в виде джоулева тепла на резисторе, что подтверждает сделанный ранее вывод.

В § 2.3 было выведено соотношение между амплитудами тока I 0 и напряжения 0 для последовательной RLC -цепи:

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возникает в цепях с последовательным соединением индуктивности L , емкости C и активного сопротивления R . Под названием “резонанс напряжений” понимают равенство действующих значений напряжений на реактивных элементах неразветвленной цепи при этом ток и напряжение в цепи совпадают по фазе.

В соответствии с законом Ома комплексное значение тока в цепи:

– комплексно сопротивление цепи;

– полное сопротивление цепи;

– угол сдвига фаз между векторами напряжения и вектором тока;

Найдем угловую частоту, при которой будет возникать резонанс напряжений, то есть резонансную частоту. Ее мы выведем из того условия что равенство напряжений на L и C в последовательной цепи прямопропорционально зависит от их реактивных сопротивлений так как ток в последовательной цепи одинаков.

При резонансе ток в неразветвленной цепи изменяется до максимального значения, а напряжение на реактивных элементах могут превысить напряжение питающей сети, если

характеристическое сопротивление колебательного контура. Отношение напряжения на L или C при резонансе к напряжению сети равно характеристического сопротивления к активному сопротивлению, это показывает резонансные свойства цепи и называется добротностью контура:

При резонансе, если мы будем увеличивать в одинаковое число раз сопротивление XL и XC , то ток в цепи будет постоянен, а напряжение на реактивных элементах увеличится в такой кратности, в какой увеличилось сопротивление.

Физика повышения напряжения состоит в том, что значительная энергия, запасенная попеременно в электрическом ( С ) и магнитном (L) поле колебается. Малые количества энергии, которые поступают от источника при резонансе напряжения , компенсируют потери энергии в активном сопротивлении и достаточны для поддержания незатухающих колебаний в системе относительно большого количества энергии магнитного и электрического полей.

Возможно Вам будут полезны следующие статьи по теме:

Закон ома при резонансе

Цель работы: изучение явления резонанса напряжений в колебательном контуре.

Рассмотрим последовательную цепочку, состоящую из омического сопротивления, катушки и конденсатора (LCR-контур – рис. 1), подсоединенную к источнику переменного напряжения. В этом контуре протекает переменный синусоидальный ток силой , где – циклическая частота колебаний. По закону Ома на сопротивлении падение напряжения равно

Из (1) видно, что сдвига фаз между током I и напряжением U нет.

Напряжение на конденсаторе с емкостью С равно

а заряд на его обкладке связан с током в подводящих проводах:

Тогда из (2) следует, что напряжение на конденсаторе:

Таким образом, на емкости имеется сдвиг фаз: напряжение U отстает от тока I по фазе на .

Амплитуды тока и напряжения связаны соотношением:

где физическая величина имеет размерность сопротивления и называется емкостным сопротивлением.

Напряжение на катушке найдем по закону Ома для участка цепи, включающей в себя источник тока, т.к. на этом участке действует ЭДС самоиндукции. Если омическое сопротивление катушки равно нулю, то напряжение на конденсаторе равно со знаком минус ЭДС самоиндукции:

На индуктивности также имеется сдвиг фаз: напряжение U опережает ток I на .

Амплитуды тока и напряжения связаны соотношением:

где величина называется индуктивным сопротивлением.

При протекании переменного тока через резистор на нем выделяется тепло. По закону Джоуля–Ленца количество выделяющейся теплоты равно . Сопротивление резистора R называется активным. При протекании переменного тока через катушку L и конденсатор C тепло не выделяется. Эти сопротивления называют реактивными.

Построим векторную диаграмму токов и напряжений в LCR-контуре (рис. 2).

Диаграмма строится следующим образом. Поскольку ток через все элементы контура одинаков, то выберем ось токов – горизонтальную ось. Ток отложим вдоль этой оси в виде вектора длиной, равной его амплитуде . Вдоль этой же оси отложим напряжение на резисторе. Оно изобразится вектором, длина которого также равна амплитуде . Направления векторов, изображающих ток и напряжение на резисторе совпадают, т.к. эти величины колеблются в одинаковой фазе.

Векторы, изображающие напряжение на катушке и на конденсаторе, также имеют длину, равную их амплитуде, однако они повернуты на угол относительно оси токов: один по часовой, другой против часовой стрелки. Это связано с тем, что при построении векторной диаграммы поворот против часовой стрелки соответствует опережению по фазе, а по часовой стрелке – отставанию.

Из рис. 2 и формул (4) и (6) с применением теоремы Пифагора получаем, что амплитуда напряжения на клеммах контура равна:

Величина называется реактивным сопротивлением контура, а полное сопротивление LCR-контура называется импедансом:

Напряжение U на клеммах контура равно:

где сдвиг фаз между током I и напряжением U, как следует из рис. 2, определяется выражением:

Из формулы (7) видно, что полное сопротивление цепи имеет наименьшее значение тогда, когда обращается в нуль реактивное сопротивление, т.е. индуктивное сопротивление становится равным емкостному. При этом , отсюда циклическая частота тока равна , т.е. равна частоте собственных колебаний колебательного контура. Амплитуда тока в этом случае достигает максимального значения. Явление возрастания амплитуды тока при совпадении его частоты с собственной частотой колебаний контура (последовательной RLC-цепочки) называется резонансом напряжений.

Резонанс напряжений

Катушка индуктивности вносит сдвиг фаз, при котором ток отстает от напряжения на четверть периода, конденсатор же, наоборот, заставляет напряжение в цепи отставать по фазе от тока на четверть периода. Таким образом, действие индуктивного сопротивления на сдвиг фаз между током и напряжением в цепи противоположно действию емкостного сопротивления.

Это приводит к тому, что общий сдвиг фаз между током и напряжением в цепи зависит от соотношения величин индуктивного и емкостного сопротивлений.

Если величина емкостного сопротивления цепи больше индуктивного, то цепь носит емкостный характер, т. е. напряжение отстает по фазе от тока. Если же, наоборот, индуктивное сопротивление цепи больше емкостного, то напряжение опережает ток, и, следовательно, цепь носит индуктивный характер.

Общее реактивное сопротивление Хобщ рассматриваемой нами цепи определяется путем сложения индуктивного сопротивления катушки XL и емкостного сопротивления конденсатора ХС.

Но так как действие этих сопротивлений в цепи противоположно, то одному из них, а именно Хс приписывается знак минус, и общее реактивное сопротивление определяется по формуле:

Применив к этой цепи закон Ома, получим:

Формулу эту можно преобразовать следующим образом:

В полученном равенстве I XL — действующее значение слагающей общего напряжения цепи, идущей на преодоление индуктивного сопротивления цепи, а I ХС — действующее значение слагающей общего напряжения цепи, идущей на преодоление емкостного сопротивления.

Таким образом, общее напряжение цепи, состоящей из последовательного соединения катушки и конденсатора, можно рассматривать как состоящее из двух слагаемых, величины которых зависят от величин индуктивного и емкостного сопротивлений цепи.

Мы считали, что такая цепь не обладает активным сопротивлением. Однако в тех случаях, когда активное сопротивление цепи не настолько уже мало, чтобы им можно было пренебречь, общее сопротивление цепи определяется следующей формулой:

где R — общее активное сопротивление цепи, XLС — ее общее реактивное сопротивление. Переходя к формуле закона Ома, мы вправе написать:

Резонанс напряжений в цепи переменного тока

Индуктивное и емкостное сопротивления, соединенные последовательно, вызывают в цепи переменного тока меньший сдвиг фаз между током и напряжением, чем если бы они были включены в цепь по отдельности.

Иначе говоря, от одновременного действия этих двух различных по своему характеру реактивных сопротивлений в цепи происходит компенсация (взаимное уничтожение) сдвига фаз.

Полная компенсация, т. е. полное уничтожение сдвига фаз между током и напряжением в такой цепи, наступит тогда, когда индуктивное сопротивление окажется равным емкостному сопротивлению цепи, т. е. когда XL = ХС или, что то же, когда ω L = 1 / ωС.

Цепь в этом случае будет вести себя как чисто активное сопротивление, т. е. как будто в ней нет ни катушки, ни конденсатора. Величина этого сопротивления определится суммой активных сопротивлений катушки и соединительных проводов. При этом действующее значение тока в цепи будет наибольшим и определится формулой закона Ома I = U / R , где вместо Z теперь поставлено R.

Одновременно с этим действующие напряжения как на катушке UL = I XL так и на конденсаторе Uc = I ХС окажутся равными и будут максимально большой величины. При малом активном сопротивлении цепи эти напряжения могут во много раз превысить общее напряжение U на зажимах цепи. Это интересное явление называется в электротехнике резонансом напряжений .

На рис. 1 приведены кривые напряжений, тока и мощности при резонансе напряжений в цепи.

График тока напряжений и мощности при резонансе напряжений

Следует твердо помнить, что сопротивления XL и ХС являются переменными, зависящими от частоты тока, и стоит хотя бы немного изменить частоту его, например, увеличить, как XL = ω L возрастет, а ХС = = 1 / ωС уменьшится, и тем самым в цепи сразу нарушится резонанс напряжений, при этом наряду с активным сопротивлением в цепи появится и реактивное. То же самое произойдет, если изменить величину индуктивности или емкости цепи.

При резонансе напряжений мощность источника тока будет затрачиваться только на преодоление активного сопротивления цепи, т. е. на нагрев проводников.

Действительно, в цепи с одной катушкой индуктивности происходит колебание энергии, т. е. периодический переход энергии из генератора в магнитное поле катушки. В цепи с конденсатором происходит то же самое, но за счет энергии электрического поля конденсатора. В цепи же с конденсатором и катушкой индуктивности при резонансе напряжений (XL = ХС) энергия, раз запасенная цепью, периодически переходит из катушки в конденсатор и обратно и на долю источника тока выпадает только расход энергии, необходимый для преодоления активного сопротивления цепи. Таким образом, обмен энергии происходит между конденсатором и катушкой почти без участия генератора.

Стоит только нарушить резонанс напряжений в цени, как энергия магнитного поля катушки станет не равной энергии электрического поля конденсатора, и в процессе обмена энергии между этими полями появится избыток энергии, который периодически будет то поступать из источника в цепь, то возвращаться ему обратно цепью.

Явление это очень сходно с тем, что происходит в часовом механизме. Маятник часов мог бы непрерывно колебаться и без помощи пружины (или груза в часах-ходиках), если бы не силы трения, тормозящие его движение.

Пружина же, сообщая маятнику в нужный момент часть своей энергии, помогает ему преодолеть силы трения, чем и достигается непрерывность колебаний.

Подобно этому и в электрической цепи, при явлении резонанса в ней, источник тока расходует свою энергию только на преодоление активного сопротивления цепи, тем самым поддерживая в ней колебательный процесс.

Итак, мы приходим к выводу, что цепь переменного тока, состоящая из генератора и последовательно соединенных катушки индуктивности и конденсатора, при определенных условиях XL = ХС превращается в колебательную систему . Такая цепь получила название колебательного контура.

Из равенства XL = ХС можно определить значения частоты генератора, при которой наступает явление резонанса напряжений:

Значение емкости и индуктивности цепи, при которых наступает резонанс напряжений :

Таким образом, изменяя любую из этих трех величин ( f рез, L и С), можно вызвать в цепи резонанс напряжений, т. е. превратить цепь в колебательный контур.

Пример полезного применения резонанса напряжений : входной контур приемника настраивается конденсатором переменной емкости (или вариометром) таким образом, что в нем возникает резонанс напряжений. Этим достигается необходимое для нормальной работы приемника большое повышение напряжения на катушке по сравнению с напряжением в цепи, созданным антенной.

Наряду с полезным использованием явления резонанса напряжений в электротехнике технике часто бывают случаи, когда резонанс напряжений вреден. Большое повышение напряжения на отдельных участках цепи (на катушке или на конденсаторе) по сравнению с напряжением генератора может привести к порче отдельных деталей и измерительных приборов.

Еще по теме:

  • Судья кузьминского суда литвиненко Кузьминский районный суд города Москвы Официальный сайт Кузьминского суда: http://kuzminsky.msk.sudrf.ru/ Телефоны Кузьминского районного суда города Москвы: Отдел обеспечения судопроизводства по гражданским делам (канцелярия): 379-61-78 Отдел обеспечения судопроизводства по […]
  • Заявление на расторжение брака в загс образец Развод через ЗАГС: процедура, заявление, образец 2017 года По статистике, более половины российских семей разводятся в течение 3 лет после даты заключения брака, если рассматривать более продолжительные временные периоды, то цифра вырастет до 65-70%. Если переводить проценты в абсолютные […]
  • Номер статьи увольнение за прогулы Порядок увольнения за прогул работника в 2018 году по ТК РФ Чтобы уволить работника по такому основанию, работодатель должен соблюсти порядок увольнения за прогул. В противном случае, работник может оспорить увольнение в суде . Прогул является одним из оснований для расторжения трудового […]
  • Как добраться до балашихинского городского суда Балашихинский городской суд Балашихинский городской суд. Ведение дел в суде. Услуги опытного адвоката. Запись на прием по тел. 8 495 787 75 07, 8 495 691 38 72. Получатель: Управление Федерального казначейства по Московской области (ИФНС России по г. Балашиха) Банк получателя: Отделение […]
  • Налог на недвижимость одесса 2018 Налог на недвижимость одесса 2018 - ставки единого налога для физических лиц-предпринимателей- налог на имущество в части транспортного налога- налог на имущество в части налога на недвижимое имущество, отличное от земельного участка Информация к решению Одесского городского совета от […]
  • Приборный поиск по закону Наши рекомендации в связи с принятыми поправками "закон о металлоискателях": Согласно новым поправкам запрещено РАЗРУШАТЬ культурный слой старше 100 лет, а также вести поиск АРХЕОЛОГИЧЕСКИХ предметов. Доказать факт разрушения (именно полного разрушения) культурного слоя почти невозможно, […]
  • Купля продажа квартир самара Покупаем квартиру в Самаре со знанием дела Сам по себе вопрос, как купить-продать квартиру в Самаре, вряд ли можно считать сложным. Предельно ясно, что нужно отыскать порядочного человека, который бы хотел приобрести или реализовать недвижимость и заключить с ним сделку. И вот тут-то, […]
  • Кто платит налог на имущество в 2014 году Налог на имущество 2014-2015: кто и когда платит Налог на имущество – это такой налог, который устанавливается на имущество предприятий, ИП или же физических лиц. Сразу нужно отметить, что налогообложение имущества для организаций и частных лиц имеет свои различия, а также регулируются […]