Выражение закона джоуля-ленца в интегральной форме

Выражение закона джоуля-ленца в интегральной форме

Пусть на участке электрической цепи протекает постоянный ток I (рис. 6.7.). Напряжение U на концах этого участка численно равно работе, совершаемой электрическими силами при перемещении единичного положительного заряда по этому участку. Это следует из определения напряжения (см. 3.16).

.

Отсюда работа A = q × U. За время t по участку будет перенесён заряд q = I × t и при этом будет совершена работа:

Это выражение работы электрического тока справедливо для любых проводников.

Работа, совершаемая в единицу времени — мощность электрического тока:

. (6.15)

В системе СИ мощность измеряется в ваттах:

1 Вт = 1 Дж/1 с = 1 В × 1 А.

Работа электрического тока (6.14) может затрачиваться на нагревание проводника, совершение механической работы (электродвигатель) и на химическое действие тока при его течении через электролит (электролиз).

Если химическое действие и механическая работа при течении тока не производятся, то вся работа электрического тока расходуется только на нагревание проводника:

Закон о тепловом эффекте электрического тока (6.15) был экспериментально установлен независимо английским учёным Д. Джоулем и русским академиком Э.Х. Ленцем. Формула (6.15) — математическая запись закона Джоуля-Ленца в интегральной форме, позволяющая вычислить количество теплоты, выделяющейся в проводнике. Для того, чтобы характеризовать тепловой эффект тока в различных точках проводника, выделим в нём элементарный участок трубки тока (рис. 6.8.). Запишем для этого элемента закон Джоуля-Ленца:

.

Здесь мы использовали хорошо известные соотношения:

— сопротивление участка;

i = lE — закон Ома в дифференциальной форме;

dV = dl × dS — объём выделенного элемента трубки тока.

Разделив количество выделившейся теплоты dQ на время dt, получим тепловую мощность электрического тока:

, .

Отнеся эту величину к объёму элемента трубки тока, придём к удельной тепловой мощности:

. (6.16)

Перед нами закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Учитывая, что i = lE = , это выражение можно записать ещё и так:

, .

Подводя итог, ещё раз запишем формулы законов постоянного тока, рассмотренные на этой лекции.

Закон Ома для участка цепи:

в интегральной форме: ;

в дифференциальной форме: .

в интегральной форме: Q = I 2 × R × t;

в дифференциальной форме: Руд = × Е 2 =.

Закон Джоуля – Ленца. Определение, формула, физический смысл

Закон Джоуля – Ленца – закон физики, определяющий количественную меру теплового действия электрического тока. Сформулирован этот закон был в 1841 году английским учёным Д. Джоулем и совершенно отдельно от него в 1842 году известным русским физиком Э. Ленцем. Поэтому он получил своё двойное название — закон Джоуля – Ленца.

Определение закона и формула

Словесная формулировка имеет следующий вид: мощность тепла, выделяемого в проводнике при протекании сквозь него электрического тока, пропорционально произведению значения плотности электрического поля на значение напряженности.

Математически закон Джоуля — Ленца выражается следующим образом:

ω = j • E = ϭ E²,

где ω — количество тепла, выделяемого в ед. объема;

E и j – напряжённость и плотность, соответственно, электрического полей;

σ — проводимость среды.

Физический смысл закона Джоуля – Ленца

Закон можно объяснить следующим образом: ток, протекая по проводнику, представляет собой перемещение электрического заряда под воздействием электрического поля. Таким образом, электрическое поле совершает некоторую работу. Эта работа расходуется на нагрев проводника.

Другими словами, энергия переходит в другое свое качество – тепло.

Но чрезмерный нагрев проводников с током и электрооборудования допускать нельзя, поскольку это может привести к их повреждению. Опасен сильный перегрев при коротких замыканиях проводов, когда по проводниках могут протекать достаточно большие токи.

В интегральной форме для тонких проводников закон Джоуля – Ленца звучит следующим образом: количество теплоты, которое выделяется в единицу времени в рассматриваемом участке цепи, определяется как произведение квадрата силы тока на сопротивление участка.

Математически эта формулировка выражается следующим образом:

Q = ∫ k • I² • R • t,

при этом Q – количество выделившейся теплоты;

I – величина тока;

R — активное сопротивление проводников;

t – время воздействия.

Значение параметра k принято называть тепловым эквивалентом работы. Величина этого параметра определяется в зависимости от разрядности единиц, в которых выполняются измерения значений, используемых в формуле.

Закон Джоуля-Ленца имеет достаточно общий характер, поскольку не имеет зависимости от природы сил, генерирующих ток.

Из практики можно утверждать, что он справедлив, как для электролитов, так проводников и полупроводников.

Область применения

Областей применения в быту закона Джоуля Ленца – огромное количество. К примеру, вольфрамовая нить в лампе накаливания, дуга в электросварке, нагревательная нить в электрообогревателе и мн. др. Это наиболее широко распространенный физический закон в повседневной жизни.

Закон Джоуля-Ленца в дифференцированной и интегральной форме

Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предполо­жим, что на концах участка проводника имеется разность потен­циалов U = φ1 – φ2.

Тогда работа по переносу заряда Q на этом участке равна:

Если ток постоянный, то:

и

Эта работа равна количеству теплоты Q, и формула Q = I · U · t вы­ражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Используя выражение закона Ома получим:

.

Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:

,

где S — сечение, l — длина проводника. Подставляя Q = I 2 R t и , получим .

Здесь — плотность тока, , и учитывая, что j = γE, получим

.

Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удель­ная проводимость проводника.

Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электрон­ных представлений

Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток. Был пропущен заряд, равный 3,5 ·10 6 Кл. Взвешивание показало неизменный вес цилинд­ров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.

Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.

Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти час­тицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет пе­ренесен некоторый заряд.

Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с прово­дом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в кото­ром был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был полу­чен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.

Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный ре­зультат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во враще­ние со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с по­мощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекав­ший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m полу­чалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны.

Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электро­проводности металлов в предположении, что:

— электроны в металле ведут себя подобно молекулам иде­ального газа;

— движение электронов подчиняется законам классической механики;

— взаимодействие электронов сводится к соударениям с ио­нами кристаллической решетки;

— силами взаимодействия между электронами можно пре­небречь и они между собой не сталкиваются;

— электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.

Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.

По определению плотность тока j = n·e· — это заряд, переносимый через единицу площади S = 1м 2 за единицу времени t=1 с; n – концентрация электронов, е – заряд элек­трона, · — средняя скорость упорядоченного движения электро­нов.

На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение: и к концу свободного про­бега он достигнет скорости:

, а средняя скорость

Если — средняя скорость теплового хаотичного движе­ния электронов, а средняя длина свободного пробега электронов , то среднее время между соударениями = .

Подставляя в формулу для получим:

.

Подставляя в формулу для j, получим:

,

т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выраже­ние закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что:

то

j= γ E.

Удельная проводимость γ

T, поэтому проводимость снижа­ется с ростом температуры, а удельное сопротивление по­вышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приоб­ретает кинетическую энергию

Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон ис­пытывает / cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в еди­нице объема за единицу времени выделится количество тепла

.

Таким образом, — выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Закон Видемана-Франца. Затруднения классической электрон­ной теории

Известно, что металлы наряду с высокой электропроводностью обладают также большой теплопроводностью. Видеман и Франц в 1853 г. эмпирически установили закон: отношение коэффициента теплопроводности χ к коэффициенту электропроводности γ для всех металлов приблизительно одинаково и прямо пропорционально аб­солютной температуре

.

Таким образом, классическая электронная теория хорошо объясняет существование электрического сопротивления металлов, законы Ома и Джоуля-Ленца, позволяет выразить удельную тепло­проводность через атомарные постоянные металла, объясняет зави­симость электропроводности от температуры и позволяет понять связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов.

Однако в некоторых вопросах, классическая электронная теория приходит к выводам, находящимся в противоречии с опы­том.

1. Исходя из классической электронной теории удельная электропроводность равна:

,

, но ,

т.е. ∼ .

Следовательно, по теории ρ ∼ , тогда как на практике

,

т.е. удельное сопротивление пропорционально первой степени тем­пературы Т.

Кроме того, согласно классической электронной теории удельное сопротивление ρ должно монотонно уменьшаться при охлаждении, оставаясь при всех температурах по значению конечным. Это и наблюдается при сравнительно высоких температурах. Однако при достаточно низ­ких температурах удельное сопротивление перестает зависеть от температуры и достигает некоторого предельного значения, кото­рое называют остаточным сопротивлением (велико у сплавов, су­ществует у чистых металлов и тем меньше, чем чище металл и меньше структурных дефектов).

Если понижать температуру еще ниже, то в некоторых веществах наблюдается явление сверхпроводи­мости, т.е. удельное сопротивление внезапно скачком уменьшается прак­тически до нуля (рис. 96). В сверхпро­водниках однажды возбужденный электрический ток может длительно существовать без источника тока (в течение нескольких суток). В таком состоянии не выполняется за­кон Ома.

2. Другим затруднением классической электронной теории металлов может служить теория теплоемкости кристаллов. Со­гласно этой теории “электронный газ” металлов должен обладать молярной теплоемкостью . Добавляя эту теплоемкость к тепло­емкости кристаллической решетки, составляющей 3R, получим для молярной теплоемкости металла значение (9/2)R. Таким образом, согласно классической электронной теории молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза выше, чем у диэлектриков. Однако на практике их молярные теплоемкости практически не различа­ются. Объяснение этих различий и явлений дается в рамках кванто­вой теории металлов.

В классической теории неверным является предположение, что электроны проводимости подчиняются законам статистики Максвелла-Больцмана и что для них справедлив закон распределе­ния энергии Максвелла. На самом деле они подчиняются законам квантовой статистики и закону распределения энергий Ферми-Ди­рака.

Энергия электронов в металлах слабо зависит от темпера­туры и теплоемкость электронного газа оказывается близка к нулю, поэтому наличие электронного газа в металлах практически не ска­зывается на теплоемкости.

Далее, в классической электронной теории не учитывается взаимодействие электронов друг с другом, а их взаимодействие с решеткой металла описывается с помощью представления о соуда­рениях. При низких температурах взаимодействие между электро­нами начинает играть решающую роль. Кроме того, оказалось, что взаимодействие электронов с решеткой имеет иной характер – электроны движутся в периодическом поле электрического потен­циала решетки.

И, наконец, движение электронов в металлах подчиняется законам квантовой, а не классической механики.

Выражение закона джоуля-ленца в интегральной форме

Соотношение (17.13) выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. Введем плотность тепловой мощности , равную энергии выделенной за единицу время прохождения тока в каждой единице объема проводника

где S — поперечное сечение проводника, — его длина. Используя (1.13) и соотношение , получим

Но — плотность тока, а , тогда

с учетом закона Ома в дифференциальной форме , окончательно получаем

Формула (17.14) выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля.

17.6. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Расчет разветвленных цепей упрощается, если пользоваться правилами Кирхгофа. Первое правило относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходится более чем два тока. Токи, текущие к узлу, считается имеют один знак (плюс или минус), от узла — имеют другой знак (минус или плюс).

Первое правило Кирхгофа является выражением того факта, что в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды и формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома на разветвленные электрические цепи.

Рассмотрим произвольный замкнутый контур в разветвленной цепи (контур 1-2-3-4-1) (рис. 1.2). Зададим обход контура по часовой стрелке и применим к каждому из неразветвленных участков контура закон Ома.

Сложим эти выражения, при этом потенциалы сокращаются и получаем выражение

В любом замкнутом контуре произвольной разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений (произведений сил токов на сопротивление) соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме эдс входящих в контур.

При решении задач рекомендуется следующий порядок:

Произвольно выбрать и обозначить на чертеже направление токов во всех участках цепи.

Записать уравнение для всех n-1 узлов.

Выделить произвольный контур в цепи и выбрать направление обхода. Записать второе правило Кирхгофа.

18. Классическая теория электропроводности

Почти сто лет тому назад П.Друде разработал теорию электро- и теплопроводности металлов. В теории Друде валентные электроны металла рассматривались как классический «электронный» газ (идеальный газ из электронов). Применение к этой модели основных положений элементарной молекулярно-кинетической теории привело к поразительным результатам. На основе этих представлений оказалось возможным объяснить закон Видемана-Франца, объяснить эффект Холла, возникновение контактной разности потенциалов, явление термоэлектронной эмиссии. Для всех перечисленных явлений удалось получить количественные зависимости между величинами, определяющими то или иное явление. Теория Друде не свободна от внутренних противоречий. Современная физика твердого тела базируется на представлениях квантовой механики, а для описания свойств электронного газа используется квантовая статистика, отличная от статистики Максвелла — Больцмана. Вместе с тем теория Друде не потеряла своей полезности: отдельные ее результаты поражают своей точностью, а методы теории Друде на редкость физически наглядны.

В рамках элементарной кинетической теории полагаем, что валентные электроны (электроны проводимости) металлов представляют собой одинаковые твердые сферы, двигаются они по прямым линиям до столкновения друг с другом, время контакта частиц пренебрежимо мало по сравнению с временем «свободного» движения.

Объемную концентрацию электронов проводимости можно оценить выражением:

где — объемная плотность металла (кг/м 3 ), Z — валентность химического элемента, Na — число Авогадро, А — относительная атомная масса элемента.

Заряд электрона е =-1,6*10 -19 Кл, масса электрона me = 0,91*10 -30 кг. Величину «е» ниже будем считать положительной, а знак заряда электрона будем учитывать непосредственно в формулах.

Плотность электронного газа:

значительно больше плотности обычных газов при нормальных условиях.

В теории Друде пренебрегают сильным электрон-электронным и электрон-ионным взаимодействием, полагая, что внутри металлического тела отдельный электрон практически ведет себя как свободная частица. Это дает нам право считать электрон «нейтральной» частицей при расчете взаимодействия ее с остальными частицами, но способной переносить заряд при расчете параметров электрического тока.

П.Друде полагал, что электроны в своем движении сталкиваются с атомами (ионами) кристаллической структуры металла (столкновения электрон-электрон значительно менее вероятны). Картина последовательных соударений электрона с атомами кристаллической решетки показана на рис. 6.1.

Современная теория оценивает вероятность такого механизма не очень высоко: рассеяние электронов имеет и другие механизмы. Поэтому не следует наглядную картину рис.6.1 понимать в буквальном смысле.

Будем считать, что отношение

представляет собой вероятность соударения электрона с рассеивающим центром, где dt — промежуток времени, — время релаксации или время свободного пробега. Предполагается, что величина не зависит от пространственного положения электрона и не меняется от соударения к соударению. Предполагается также, что электроны находятся в состоянии теплового равновесия со своим окружением. Механизм соударения детализируется следующим образом: скорость электрона после соударения статистически не связана со скоростью электрона до соударения (электрон «забыл» свою предысторию), направление скорости после соударения — случайное, хаотическое, а ее величина соответствует той температуре, которая имеет место в окрестности точки соударения.

Выражение закона джоуля-ленца в интегральной форме

Рассмотрим произвольный участок цепи, к концам которого приложено напряжение U. За время dt через каждое сечение проводника проходит заряд

При этом силы электрического поля, действующего на данном участке, совершают работу:

Разделив работу на время, получим выражение для мощности:

Полезно вспомнить и другие формулы для мощности и работы:

В 1841 г. манчестерский пивовар Джеймс Джоуль и в 1843 г. петербургский академик Эмилий Ленц установили закон теплового действия электрического тока.

Независимо друг от друга Джоуль и Ленц показали, что при протекании тока, в проводнике выделяется количество теплоты:

Если ток изменяется со временем, то

.

Это закон Джоуля–Ленца в интегральной форме.

Отсюда видно, что нагревание происходит за счет работы, совершаемой силами поля над зарядом.

Соотношение (7.7.4) имеет интегральный характер и относится ко всему проводнику с сопротивлением R, по которому течет ток I. Получим закон Джоуля-Ленца в локальной-дифференциальной форме, характеризуя тепловыделение в произвольной точке.

Тепловая мощность тока в элементе проводника Δl, сечением ΔS, объемом равна:

.

Удельная мощность тока

.

Согласно закону Ома в дифференциальной форме . Отсюда закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме характеризующий плотность выделенной энергии:

Так как выделенная теплота равна работе сил электрического поля

,

то мы можем записать для мощности тока:

Мощность, выделенная в единице объема проводника .

Приведенные формулы справедливы для однородного участка цепи и для неоднородного.

Еще по теме:

  • Правило интегрирования функции умноженной на постоянную Правило интегрирования функции умноженной на постоянную По вашему желанию ликвидация через оффшор на лучших условиях. Второе правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл полагаем x = φ(t), где φ(t) - дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию ψ(x). Вычислив полученный […]
  • Законы максвелла для электромагнитного поля Уравнения Максвелла для электромагнитного поля Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, […]
  • Характеристика законов хаммурапи кратко Характеристика законов хаммурапи кратко ВАВИЛОНИЯ Вавилония в XVIII в. до н. э. Общая характеристика законов Хаммурапи Естественно, что для Вавилонского государства стало неприемлемым древнее право Шумера, восходящее ещё к законодательной деятельности царей III династии Ура. […]
  • Александр 3 правил лет Александр III Александрович Александр III Александрович (1845-1894) – император российского государства, был вторым сыном Александра II, отцом последнего монарха Николая II. Управлял страной с 1881 по1894 год. Стал наследником царского престола после кончины старшего брата Николая в 1865 […]
  • Как оформить временную прописку для ребенка Временная прописка ребенка для школы Согласно законодательству нашей страны каждый человек в России должен иметь регистрацию по месту проживания или по месту временного пребывания. Чтобы определить ребёнка в школу, также необходима регистрация. Временная регистрация ребенка для школы […]
  • 3 рабочая пенсия Пенсия по инвалидности 3 группы в 2018 году Те граждане, кто в силу состояния своего здоровья, не может боле трудиться по своей профессии, но способен выполнять другую, более простую работу либо работать по своей первоначальной специальности, но в облегченном режиме, относятся к III […]
  • Платежка на транспортный налог физических лиц Платежное поручение по транспортному налогу Актуально на: 23 марта 2017 г. ​Платежное поручение по транспортному налогу(образец) Требования к заполнению платежного поручения по транспортному налогу ничем не отличаются от требований, предъявляемых к заполнению платежек по другим налогам. […]
  • Что такое валопровод на судне Судовые валопроводы и движители Назначение, устройство и основные части валопровода Главное назначение валопровода — передавать крутящий момент от главного двигателя гребному винту (движителю), а также воспринимать и передавать корпусу судна упор, создаваемый гребным винтом. Количество […]