Определение закон кирхгофа

ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА

Законы Кирхгофа (более корректно — правила Киргхгофа) применяются при расчете сложных (разветвленных) электрических цепей. Предлагаю рассмотреть их по очереди и начать, естественно, с первого.

Здесь:

  • I i — ток в узле,
  • n — число проводников, сходящихся в узле,
  • токи, втекающие в узел ( I1, In ) считаются положительными,
  • вытекающие токи ( I2, I3 ) — отрицательными.

В таком виде этот закон звучит и выглядит, наверное, очень академично, поэтому предлагаю все несколько упростить.

Нарисуем разветвленную электрическую цепь в более привычном виде (рис.2) и дадим такую формулировку:

Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла.

Для этого случая формула первого закона Кирхгофа примет вид: I= I1+I2+. +In , что для повседневных вычислений гораздо удобнее.

ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА

Второй закон Кирхгофа определяет зависимость между падениями напряжений и ЭДС в замкнутых контурах и имеет следующий вид (рис.3) и определение:

При отсутствии в контуре ЭДС сумма падений напряжений равна 0.

Теперь несколько пояснений по практическому применению этого правила Кирхгофа:

  • поскольку, алгебраическая сумма требует учета знака следует выбрать направление обхода контура ( на рис.3 — по часовой стреклке), токи и напряжения, совпадающие с этим направлением считать положительными, иные — отрицательными. При затруднении в определении направления тока, возьмите произвольное, если в результате вычислений получите результат со знаком «-«, поменяйте выбранное направление на противоположенное.
  • для нашего примера можно записать:
    U1+U3-U2=0
    U4+U5-U3=0
  • кроме того, руководствуясь первым правилом Кирхгофа :
    Iвх — I1 — I2 = 0
    I1 — I3 — I4=0
    I4 — I5=0
    I2 + I3 + I5 — Iвых=0 ,

получаем систему из 6 уравнений, полностью описывающую рассматриваемую электрическую цепь.

© 2012-2018 г. Все права защищены.

Все представленные на этом сайте материалы имеют исключительно информационный характер и не могут быть использованы в качестве руководящих и нормативных документов

Определение закон кирхгофа

Законы Кирхгофа являются одной из форм закона сохранения энергии и потому относятся к фундаментальным законам природы.

Первый закон Кирхгофа является следствием принципа непрерывности электрического тока, в соответствии с которым суммарный поток зарядов через любую замкнутую поверхность равен нулю, т.е. количество зарядов выходящих через эту поверхность должно быть равно количеству входящих зарядов. Основание этого принципа очевидно, т.к. при нарушении его электрические заряды внутри поверхности должны были бы либо исчезать, либо возникать без видимых причин.

Если заряды перемещаются внутри проводников, то они образуют в них электрический ток. Величина электрического тока может измениться только в узле цепи, т.к. связи считаются идеальными проводниками. Поэтому, если окружить узел произвольной поверхностью s (рис. 1), то потоки зарядов через эту поверхность будут тождественны токам в проводниках образующих узел и
суммарный ток в узле должен быть равным нулю.

Для математической записи этого закона нужно принять систему обозначений направлений токов по отношению к рассматриваемому узлу. Можно считать токи направленные к узлу положительными, а от узла отрицательными. Тогда для узла рис. 1 уравнение Кирхгофа будет иметь вид I 3 +I 4I 1I 2 = 0 или I 3 +I 4 =I 1 +I 2 .

Обобщая сказанное на произвольное число ветвей сходящихся в узле, можно сформулировать первый закон Кирхгофа следующим образом:


  • алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю


  • в любом узле сумма токов направленных к узлу равна сумме токов направленных от узла

, где p+q=n.

Очевидно, что обе формулировки равноценны и выбор формы записи уравнений может быть произвольным. Существенным является только соглашение о знаках токов для данной цепи, т.е. в пределах описания одной электрической цепи нельзя для разных узлов использовать разные знаки для токов направленных к узлам или от узлов .

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа направления токов в ветвях электрической цепи выбирают обычно произвольно. При этом необязательно даже стремиться, чтобы во всех узлах цепи присутствовали токи разных направлений. Может получиться так, что в каком-либо узле все токи сходящихся в нем ветвей будут направлены к узлу или от узла, нарушая тем самым принцип непрерывности. В этом случае в процессе определения токов один или несколько из них окажутся отрицательными, что будет свидетельствовать о протекании их в направлении противоположном принятому.

Второй закон Кирхгофа связан с понятием потенциала электрического поля, как работы, совершаемой при перемещении единичного точечного заряда в пространстве. Если такое перемещение совершается по замкнутому контуру , то суммарная работа при возвращении в исходную точку будет равна нулю. В противном случае путем обхода контура можно было бы получать положительную энергию, нарушая закон ее сохранения.

Каждый узел или точка электрической цепи обладает собственным потенциалом и, перемещаясь вдоль замкнутого контура, мы совершаем работу, которая при возврате в исходную точку будет равна нулю. Это свойство потенциального электрического поля и описывает второй закон Кирхгофа в применении к электрической цепи.

Он также как и первый закон формулируется в двух вариантах, связанных с тем, что падение напряжения на источнике ЭДС численно равно электродвижущей силе, но имеет противоположный знак. Поэтому, если какая либо ветвь содержит сопротивление и источник ЭДС, направление которой согласно с направлением тока, то при обходе контура эти два слагаемых падения напряжения будут учитываться с разными знаками. Если же падение напряжения на источнике ЭДС учесть в другой части уравнения, то его знак будет соответствовать знаку напряжения на сопротивлении.

Сформулируем оба варианта второго закона Кирхгофа , т.к. они принципиально равноценны:


  • алгебраическая сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю

Примечание: знак + выбирается перед падением напряжения на резисторе, если направление протекания тока через него и направление обхода контура совпадают; для падений напряжения на источниках ЭДС знак + выбирается, если направление обхода контура и направление действия ЭДС встречны независимо от направления протекания тока;


  • алгебраическая сумма ЭДС вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжения на резисторах в этом контуре

, где p+q=n

Примечание: знак + для ЭДС выбирается в том случае, если направление ее действия совпадает с направлением обхода контура, а для напряжений на резисторах знак + выбирается, если в них совпадают направление протекания тока и направление обхода.

Здесь также как и в первом законе оба варианта корректны, но на практике удобнее использовать второй вариант, т.к. в нем проще определить знаки слагаемых.

С помощью законов Кирхгофа для любой электрической цепи можно составить независимую систему уравнений и определить любые неизвестные параметры, если число их не превышает число уравнений. Для выполнения условий независимости эти уравнения должны составляться по определенным правилам.

Общее число уравнений N в системе равно числу ветвей N в минус число ветвей, содержащих источники тока N J , т.е. N = N в — NJ .

Наиболее простыми по выражениям являются уравнения по первому закону Кирхгофа, однако их число N 1 не может быть больше числа узлов Nу минус один.
Недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, т.е.

Сформулируем алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа :

  1. определить число узлов и ветвей цепи Nу и N в ;
  2. определить число уравнений по первому и второму законам N 1 и N 2 . ;
  3. для всех ветвей (кроме ветвей с источниками тока) произвольно задать
    направления протекания токов;
  4. для всех узлов, кроме одного, выбранного произвольно, составить уравнения по первому закону Кирхгофа;
  5. произвольно выбрать на схеме электрической цепи замкнутые контуры таким образом, чтобы они отличались друг от друга по крайней мере одной ветвью и чтобы все ветви, кроме ветвей с источниками тока, входили по крайней мере в один контур;
  6. произвольно выбрать для каждого контура направление обхода и составить уравнения по второму закону Кирхгофа, включая в правую часть уравнения ЭДС действующие в контуре, а в левую падения напряжения на резисторах. Примечание: Знак ЭДС выбирают положительным, если направление ее действия совпадает с направлением обхода независимо от направления тока; а знак падения напряжения на резисторе принимают положительным, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Рассмотрим этот алгоритм на примере рис 2.

Здесь светлыми стрелками обозначены выбранные произвольно направления токов в ветвях цепи. Ток в ветви с R 4 не выбирается произвольно, т.к. в этой ветви он определяется действием источником тока.

Число ветвей цепи равно 5, а т.к. одна из них содержит источник тока, то общее число уравнений Кирхгофа равно четырем.

Число узлов цепи равно трем ( a, b и c ), поэтому число уравнений по первому закону Кирхгофа равно двум и их можно составлять для любой пары из этих трех узлов. Пусть это будут узлы a и b , тогда

Второй закон Кирхгофа. Определение и формула.

Второй закон Кирхгофа описывает алгебраическую зависимость между падениями напряжений и ЭДС замкнутого контура электроцепи. Он связан с использованием потенциала электрической энергии, как работы по перемещению точечного единичного заряда в пространстве, и имеет следующее определение:

вдоль замкнутого контура любой электроцепи сумма эдс источников равна сумме падений напряжения резистивных элементов:

E1 + E2 + …+ En = I1R1 + I2R2 +…+ InRn.

То есть при обходе контура происходит изменение потенциала, однако по возвращению к исходной точке потенциал остается прежним. В противном случае, нарушались положения закона сохранения энергии. Отсюда вытекает вторая формулировка второго закона Кирхгофа, которая равноценна первой и гласит:

вдоль замкнутого контура изменение падения напряжения на всех участках электросети равно 0, или:

Для составления уравнений согласно 2-му закона необходимо произвольно задаться направлением обхода (по часовой стрелке либо против). Если напряжения, токи соответствуют направлению обхода, то принято считать их положительными, при этом несовпадающие – отрицательными.

Для схемы из нескольких контуров, представленной на рисунке, составим уравнения, используя 2-й Закон Кирхгофа:

— для 1 контура: Е1 + Е2 = I1r1 + I1R1 + I2r2 + I2R2;

— для 2 контура: — Е2 = -I2r2 — I2R2 + I3R3;

— для 3 контура: Е3 = I4r3+ I4R4- I3R3.

Если после проведения расчетов ток имеет отрицательную величину, то это означает, что было избрано неверное направление тока первоначально.

Законы Кирхгофа применимы для расчета линейных, нелинейных цепей. На их основе составлены основные методы расчета электроцепей синусоидального тока, такие, как метод узловых потенциалов, контурных токов.

Первый закон Кирхгофа

В сложных схемах типа моста и Т-образных схемах токи можно определить с помощью первого закона Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа или закон токов Кирхгофа гласит: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла. Так как токи, которые вытекают из узла берутся с отрицательным знаком, то существует другая формулировка первого закона Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Рассмотрим схему на рисунке 1.

Здесь ток I1— полный ток, притекающий к узлу А, а токи I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А. Следовательно, можно записать:

Аналогично для узла B

Предположим, что I4 = 2 мА и I5 = 3 мА, получим

I3 = 2 + 3 = 5 мА

Приняв I2 = 1 мА, получим

Далее можно записать для узла C

и для узла D

ДРУГИЕ СТАТЬИ ПО ТЕМЕ:

Первый и второй законы Кирхгофа — статья в интернет-журнале ЭЛЕКТРОН, где подробно с примерами расчетов и моделирования на компьютере изложены эти основопологающие законы элеектротехники и в частности первый закон Кирхгофа

Видеоурок по расчету цепей с помощью первого и второго закона Кирхгофа.

Предлагаю посмотреть это видео для закрепления материала:

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Законы Кирхгофа

Решение задач на расчет сложных цепей основывается на применении первого и второго законов Кирхгофа, которые наряду с законом Ома являются основными законами электрической цепи.

Законы Кирхгофа определяют распределение токов и напряжений в электрических цепях любой конфигурации.

Первый закон Кирхгофа

Рассматривая разветвленные электрические цепи, состоящие из нескольких контуров, нам необходимо установить соотношения между токами, приходящими к любому узлу, и токами, уходящими от него. Из физической сущности электрического тока следует, что общее количество носителей тока, притекающее к узлу в течении некоторого промежутка времени, равно количеству носителей, утекающему от узла за тоже время. Если предположить, что это положение не выполняется, то в узловой точке должно происходить накопление зарядов или убыль — утечка зарядов.

На практике эти явления не наблюдаются, следовательно, мы можем утверждать, что сумма величин токов, притекающих к точке разветвления, равна сумме величин токов, утекающих от нее.

Это положение и является формулировкой первого закона Кирхгофа.

Математическое выражение первого закона Кирхгофа применительно к узлу А:

Условимся токи, притекающие к точке разветвления, считать положительными, а токи, утекающие от нее, — отрицательными и сформулируем окончательно первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма величин токов в точке разветвления равна нулю.

На рисунке изображена узловая точка и указаны направления и величины в пяти ветвях.

Требуется определить величину и направление тока в шестой ветви.

Предположим, что ток в шестой ветви притекает к точке А. Используя первый закон Кирхгофа, составим уравнение ∑I=0

Второй закон Кирхгофа

Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей

Используя первый закон Кирхгофа, можно составить (k-1) уравнений, связывающих между собой величины токов в ветвях. Таким образом, число уравнений на одно меньше, чем число всех узлов цепи. Это объясняется тем, что все токи, входящие в уравнение для узла k, уже вошли в предыдущие уравнения. На схеме в узле А сходятся токи I1, I2, I3; в узле В —I2, I3, I4, I5; в узле С — I4, I5, I1.

Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов А и В являются независимыми. В то же время уравнение для узла С. Дает нам зависимость, которая может быть получена на основании уравнений, составленных для первых двух узлов.
В самом деле, на основании первого закона Кирхгофа получим:

Но последнее уравнение не является независимым, так как может быть получено на основании двух первых.
Действительно, складывая (1) и (2), получим

а умножив обе части равенства на -1, будем иметь

Определим теперь число уравнений, которое можно составить, используя второй закон Кирхгофа. Для того чтобы эти уравнения были независимы друг от друга, достаточно чтобы контуры, для которых они пишутся, отличались хотя бы одной ветвью, входящей в их состав.
Математически доказано, что число независимых уравнений m, которое можно составить для любой сложной цепи по второму закону Кирхгофа будет равно

m = n-k + 1 ,

где m —число независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа;
n — число ветвей;
к — число узлов.
При выборе контуров стараются по возможности подобрать такие, которые содержат меньшее число ветвей и э. д. с.
Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа для сложной цепи, состоящей из ветвей и узлов, будет равно числу ветвей.
Складывая число уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа (k—1), с числом уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа (m), получим

k — 1 + m = k— 1 + n — k + 1 = n .

Итак, если задана цепь из n ветвей и известны все э. д. с. и сопротивления, всегда можно составить n уравнений по числу неизвестных токов в ветвях.
Для решения задачи на расчет сложной цепи необходимо:

4. Для выбранных узловых точек схемы составить (k — 1) уравнений по первому закону Кирхгофа:

Суммирование токов производится обязательно с учетом знака.
5. Для выбранных замкнутых контуров составить m уравнений по второму закону Кирхгофа:

При составлении этих уравнений э. д. с. суммируются с учетом знака, а падения напряжения берутся со знаком плюс, если направление тока совпадает с направлением обхода контура, и наоборот.
6. Решить систему полученных уравнений, в результате чего определяются величины токов во всех ветвях цепи. Если при решении та или иная величина тока получается со знаком минус, то это значит, что фактическое направление тока в данной ветви обратно тому, которое было принято предварительно.
Для закрепления рассматриваемого порядка расчета сложной цепи с использованием законов Кирхгофа решим пример.

I

Пример. Дана сложная цепь, изображенная на рисунке. Зная Е1, Е2, Е3, r1 r2 и r3, необходимо определить токи в ветвях I1, I2 и I3.

Решение.
1. Анализируя данную схему, устанавливаем, что в ней число ветвей n равно трем, а число узлов k равно двум.
2. Обозначим направление токов в ветвях. Это не значит, что они будут именно такими, как мы предположили. Истинное направление токов определится в ходе решения задачи.
3. Уравнения первого закона Кирхгофа необходимо составить для
(k-1) узлов, или 2-1= 1.
Количество уравнений второго закона Кирхгофа, которое надо составить для решения задачи будет равно

m = n-(k- 1) = 3 — (2 — 1) = 3 — 1=2 .

4. Составим одно уравнение по первому закону Кирхгофа для узла А:

5. Приняв направление обхода контуров против часовой стрелки, составим m-2 уравнений для замкнутых контуров по второму закону Кирхгофа:
— для контура № 1:

6. Решаем систему из трех уравнений.
Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа (4),
имеем
I1=I2-I3

Подставим полученное значение тока в уравнение (5)

Подставим числовые значения и уравнения (5) и (6).

Упростим эти уравнения и решим их методом подстановки:

Умножим уравнение (7) на 2 и вычтем из полученного результата уравнение (8)

далее, подставляя значение I2 в уравнение (8), получим

5= -3*2,7-4I3; 4I3= -13,1 ;
I3= -13,1/4=-3,3A .

Теперь из уравнения (6) находим ток I1:

В результате решения токи I2 и I1 имеют положительное, а ток I3
отрицательное значение, следовательно, фактическое направление токов I2
и I1 совпадает с принятым, а тока I3 — обратно принятому в начале решения задачи.

Еще по теме:

  • Пособие по уходу за ребенком до 3 лет янао Детские пособия в Ямало-Ненецком автономном округе и Салехарде в 2018 году 2013 год запомнился для жителей Ямало-Ненецкого автономного округа резким снижением количества населения. Основной причиной сокращения жителей стала миграционная убыль. Чтобы исправить данную ситуацию власти стали […]
  • Как принять гражданство россии Гражданство РФ для иностранных граждан: как получить российское гражданство иностранному гражданину, основания и документы на гражданство РФ, упрощенное получение гражданства РФ – пошаговая инструкция и порядок приобретения российского гражданства Гражданство РФ – это устойчивая […]
  • Пособия на новорожденных в спб Детские пособия в Санкт-Петербурге в 2018 году Санкт-Петербург является обособленным субъектом федерации. На жителей мегаполиса не распространяются областные социальные программы. Городские власти создают свои проекты с целью охвата все нуждающиеся в поддержке семейства. Всероссийские […]
  • Как оформить панелями кухню Отделка кухни панелями из пластика – стильно и недорого Довольно долгое время бытовало мнение, что ПВХ панели могут использоваться для обшивки кухонь только эконом-класса, наподобие хрущевки. Считалось, что выглядит пластик бедно, довольно быстро портится и боится царапин. Однако все […]
  • Землю дают в собственность Дают ли землю за третьего ребенка в семье в 2018 году В российском законодательстве не приведено точного определения многодетной семьи. Критерии данной категории разрабатываются на региональном уровне. Тем не менее существует практика социальной поддержки многодетных. Так, некоторые […]
  • Расчет отпуска при увольнении по сокращению штатов Как начисляется компенсация при сокращении работника? Компенсация при сокращении работника, с которыми компания наиболее часто сталкивается в случае увольнения работника, представляет собой компенсацию за неиспользованный отпуск, а также выходное пособие, о которых дальше и пойдет речь в […]
  • Пенсия за выслугу лет военным пенсионерам Пенсия военнослужащим за выслугу лет в 2018 году Пенсия за выслугу лет военнослужащим предоставляется как компенсация лишений военнослужащим за длительный срок , потраченный на защиту Отчизны жизни. Кому положено пособие за выслугу лет Закон N 4468-1 регламентирует правовые […]
  • Последний закон о высшем образовании Законы о втором высшем образовании Отдельного закона о втором высшем образовании в российской правовой базе нет. Процедура поступления в вузы уже дипломированных специалистов, содержание и объемы программ их обучения, а также правила оплаты учебы регулируются отдельными статьями […]