Правила математического округления цифр

Как округлить число до целого

Применяя правило округления чисел, рассмотрим на конкретных примерах, как округлить число до целого.

Правило округления числа до целого

Чтобы округлить число до целого (или округлить число до единиц), надо отбросить запятую и все числа, стоящие после запятой.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то число не изменится.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, предыдущую цифру нужно увеличить на единицу.

Округлить число до целого:

Чтобы округлить число до целого, отбрасываем запятую и все стоящие после нее числа. Так как первая отброшенная цифра 2, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «восемьдесят шесть целых двадцать четыре сотых приближенно равно восьмидесяти шести целым».

Округляя число до целого, отбрасываем запятую и все следующие за ней цифры. Так как первая из отброшенных цифр равна 8, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Двести семьдесят четыре целых восемьсот тридцать девять тысячных приближенно равно двести семидесяти пяти целым».

При округлении числа до целого запятую и все стоящие за ней цифры отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 5, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых пятьдесят две сотых приближенно равно одной целой».

Запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Нуль целых триста девяносто семь тысячных приближенно равно нуль целых».

Первая из отброшенных цифр — 7, значит, стоящую перед ней цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать девять целых семьсот четыре тысячных приближенно равно сорока целым». И еще пара примеров на округление числа до целых:

27 Comments

Не правильная теория про если цифра 46.5 это не 47 а 46 это называется еще банковским округлением к ближайшему четному округляется если после запятой 5 и за ним нет никакой цифры

Уважаемый ShS! Возможно(?), в банках округление происходит по иным правилам. Не знаю, я не работаю в банке. На этом сайте речь идёт о правилах, действующих в математике.

как округлить число 6,9?

Чтобы округлить число до целого, надо отбросить все числа, стоящие после запятой. Отбрасываем 9, поэтому предыдущее число следует увеличить на единицу. Значит, 6,9 приближенно равно семи целым.

На самом деле действительно не увеличивается цифра если после запятой 5 в любом финансовом учреждении

Гм. В таком случае финансовые учреждения в вопросах округления руководствуются не законами математики, а своими собственными соображениями.

Скажите, как округлить 46,466667. Запуталась

Если требуется округлить число до целого, то надо отбросить все цифры, стоящие после запятой. Первая из отброшенных цифр равна 4, поэтому предыдущую цифру не изменяем:

Уважаемая Светлана Ивановна. Плохо же Вы знакомы с правилами математики.

Правило. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т. е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и усиливается, если она нечетная.

И Соответственно: Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем 0,046. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра 6 — четная. Число 0,046 столь же близко к данному, как 0,047.

Уважаемый гость! Да будет Вам известно, в математике для округление числа существуют различные способы округления. В школе изучают один из них, состоящий в отбрасывании младших разрядов числа. Я рада за Вас, что Вы знаете другой способ, но неплохо бы не забывать и школьные знания.

Спасибо вам большое! Нужно было округлить 349,92. Получается 350. Спасибо за правило ?

как правильно округлить 5499,8?

Если речь об округлении до целого, то отбросить все цифры, стоящие после запятой. Отброшенная цифра — 8, следовательно, предыдущую увеличиваем на единицу. Значит, 5499,8 приближенно равно 5500 целым.

Доброго дня!
А вот такой вопрос возник сейас:
Есть три числа: 60.56% 11.73% и 27.71% Каким образом окрулить до целых знаечний? Чтобы в сумме то 100 осталось. Если просто округлять, то 61+12+28=101 Плучается неувязочка. (Если, как тыт писали, по «банковскому» методу — в данном случае получится, но в случае, например 60.5% и 39.5% получится опять что-то пало — 1% потеряем). Как быть?

О! помог метод от «гость 02.07.2015 12:11″
Благодарю»

Не знаю меня в школе учили так:
1.5 => 1
1.6 => 2
1.51 => 2
1.51 => 1.6

Возможно, Вас так учили.

0, 855 до сотых помогите пожалуйста

0, 855≈0,86 (отброшена 5, предыдущую цифру увеличиваем на 1).

Округлить 2,465 до целого числа

2,465≈2 (первая отброшенная цифра — 4. Поэтому предыдущую оставляем без изменения).

Как округлить 2,4456 до целого?

2,4456 ≈ 2 (так как первая отброшенная цифра 4, предыдущую цифру оставляем без изменения).

Исходя из правил кругления: 1,45=1,5=2, следовательно 1,45=2. 1,(4)5 = 2. Так ли это?

Нет. Если требуется округлить 1,45 до целого, отбрасываем первую цифру после запятой. Поскольку это 4, предыдущую цифру не изменяем. Таким образом, 1,45≈1.

Округление чисел

Сегодня мы рассмотрим довольно скучную тему, без понимания которой двигаться дальше не представляется возможным. Эта тема называется «округление чисел» или по-другому «приближённые значения чисел».

Приближённые значения

Приближённые (или приблизительные) значения применяются тогда, когда точное значение чего-либо найти невозможно, или же это значение не важно для исследуемого предмета.

Например, на словах можно сказать, что в городе проживает полмиллиона человек, но это высказывание не будет истинным, поскольку количество человек в городе меняется — люди приезжают и уезжают, рождаются и умирают. Поэтому правильнее будет сказать, что в городе проживает приблизительно полмиллиона человек.

Ещё пример. В девять утра начинаются занятия. Мы вышли из дома в 8:30. Через некоторое время по дороге мы встретили своего товарища, который спросил у нас сколько сейчас времени. Когда мы выходили из дома было 8:30, на дорогу мы потратили какое-то неизвестное время. Мы не знаем сколько сейчас времени, поэтому отвечаем товарищу: «сейчас приблизительно около девяти часов».

В математике приближенные значения указываются с помощью специального знака. Выглядит он следующим образом:

Читается как «приблизительно равно».

Чтобы указать приблизительное значение чего-либо, прибегают к такой операции, как округление чисел.

Округление чисел

Для нахождения приближенного значения применяется такая операция, как округление чисел.

Слово «округление» говорит само за себя. Округлить число значит сделать его круглым. Круглым называется число, которое оканчивается нулем. Например, следующие числа являются круглыми,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Любое число можно сделать круглым. Процедуру, при которой число делают круглым, называют округлением числа.

Мы уже занимались «округлением» чисел, когда делили большие числа. Напомним, что для этого мы оставляли без изменения цифру, образующую старший разряд, а остальные цифры заменяли нулями. Но это были лишь наброски, которые мы делали для облегчения деления. Своего рода лайфхак. По факту, это даже не являлось округлением чисел. Именно поэтому в начале данного абзаца мы взяли слово округление в кавычки.

На самом деле, суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч.

Рассмотрим простой пример на округление. Дано число 17. Требуется округлить его до разряда десятков.

Не забегая вперёд попробуем понять, что означает «округлить до разряда десятков». Когда говорят округлить число 17, от нас требуют найти ближайшее круглое число для числа 17. При этом, в ходе этого поиска возможно изменения коснутся и цифры, которая находится в разряде десятков в числе 17 (т.е единицы).

Представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что для числа 17 ближайшее круглое число это 20. Значит ответ к задаче таким и будет: 17 приблизительно равно 20

Мы нашли приближённое значение для 17, то есть округлили его до разряда десятков. Видно, что после округления в разряде десятков появилась новая цифра 2.

Попробуем найти приближённое число для числа 12. Для этого снова представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что ближайшее круглое число для 12 это число 10. Значит ответ к задаче таким и будет: 12 приблизительно равно 10

Мы нашли приближённое значение для 12, то есть округлили его до разряда десятков. В этот раз цифра 1, которая стояла в разряде десятков в числе 12, не пострадала от округления. Почему так случилось мы рассмотрим позже.

Попробуем найти ближайшее число для числа 15. Снова представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что число 15 одинаково удалено от круглых чисел 10 и 20. Возникает вопрос: которое из этих круглых чисел будет приближённым значением для числа 15? Для таких случаев условились принимать большее число за приближённое. 20 больше чем 10, поэтому приближённое значение для 15 будет число 20

Округлять можно и большие числа. Естественно, для них рисовать прямую линию и изображать числа не представляется возможным. Для них существует свой способ. Например, округлим число 1456 до разряда десятков.

Мы должны округлить 1456 до разряда десятков. Разряд десятков начинается на пятёрке:

Теперь о существовании первых цифр 1 и 4 временно забываем. Остается число 56

Теперь смотрим, какое круглое число находится ближе к числу 56. Очевидно, что ближайшее круглое число для 56 это число 60. Значит заменяем число 56 на число 60

Значит при округлении числа 1456 до разряда десятков получим 1460

Видно, что после округления числа 1456 до разряда десятков, изменения коснулись и самого разряда десятков. В новом полученном числе в разряде десятков теперь располагается цифра 6, а не 5.

Округлять числа можно не только до разряда десятков. Округлять можно также до разряда сотен, тысяч, десятков тысяч.

После того, как становится понятно, что округление это ни что иное, как поиск ближайшего числа, можно применять готовые правила, которые значительно облегчают округление чисел.

Первое правило округления

Из предыдущих примеров стало ясно, что округляя число до определенного разряда, младшие разряды заменяются нулями. Цифры, которые заменяются нулями, называют отбрасываемыми цифрами.

Первое правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Например, округлим число 123 до разряда десятков.

В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого надо прочитать само задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 123 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится двойка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 2

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после двойки это цифра 3. Значит цифра 3 является первой отбрасываемой цифрой.

Теперь применяем правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Так и делаем. Оставляем без изменения сохраняемую цифру, а все младшие разряды заменяем нулями. Другими словами, всё что следует после цифры 2 заменяем нулями (точнее нулём):

Значит при округлении числа 123 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 120.

Теперь попробуем округлить то же самое число 123, но уже до разряда сотен.

Нам требуется округлить число 123 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 1, поскольку мы округляем число до разряда сотен.

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после единицы это цифра 2. Значит цифра 2 является первой отбрасываемой цифрой:

Теперь применим правило. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Так и делаем. Оставляем без изменения сохраняемую цифру, а все младшие разряды заменяем нулями. Другими словами, всё что следует после цифры 1 заменяем нулями:

Значит при округлении числа 123 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 100.

Пример 3. Округлить число 1234 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 3. А первая отбрасываемая цифра это 4. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 3 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулём:

Пример 4. Округлить число 1234 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 2. А первая отбрасываемая цифра это 3. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 2 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

Пример 3. Округлить число 1234 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 1. А первая отбрасываемая цифра это 2. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 1 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

Второе правило округления

Второе правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Например, округлим число 675 до разряда десятков.

В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого надо прочитать само задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 675 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится семёрка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 7

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после семёрки это цифра 5. Значит цифра 5 является первой отбрасываемой цифрой.

Теперь применяем второе правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 5. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что следует после неё заменить нулём:

Значит при округлении числа 675 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 680.

Теперь попробуем округлить то же самое число 675, но уже до разряда сотен.

Нам требуется округлить число 675 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 6, поскольку мы округляем число до разряда сотен:

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после шестёрки это цифра 7. Значит цифра 7 является первой отбрасываемой цифрой:

Теперь применяем второе правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 7. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 6, а всё что следует после неё заменить нулями:

Значит при округлении числа 675 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 700.

Пример 3. Округлить число 9876 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 7. А первая отбрасываемая цифра это 6. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что располагается после неё заменяем нулём:

Пример 4. Округлить число 9876 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 8. А первая отбрасываемая цифра это 7. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 8, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

Пример 5. Округлить число 9876 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 9. А первая отбрасываемая цифра это 8. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 9, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

Пример 6. Округлить число 2971 до сотен.

При округлении этого числа до сотен следует быть внимательным, поскольку сохраняемая цифра здесь 9, а первая отбрасываемая цифра это 7. Значит цифра 9 должна увеличиться на единицу. Но дело в том, что после увеличения девятки на единицу получится 10, а это цифра не вместится в разряд сотен нового числа.

В этом случае, в разряде сотен нового числа надо записать 0, а единицу перенести на следующий разряд и сложить с цифрой, которая там находится. Далее заменить все цифры после сохраняемой нулями:

Округление десятичных дробей

При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, поскольку десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И каждая из этих двух частей имеет свои разряды:

Разряды целой части:

  • разряд единиц
  • разряд десятков
  • разряд сотен
  • разряд тысяч

Разряды дробной части:

  • разряд десятых
  • разряд сотых
  • разряд тысячных

Рассмотрим десятичную дробь 123,456 — сто двадцать три целых четыреста пятьдесят шесть тысячных. Здесь целая часть это 123, а дробная часть 456. При этом у каждой из этих частей есть свои разряды. Очень важно не путать их:

Для целой части применяются те же правила округления, что и для обычных чисел. Отличие в том, что после округления целой части и замены нулями всех цифр после сохраняемой цифры, дробная часть полностью отбрасывается.

Например, округлим дробь 123,456 до разряда десятков. Именно до разряда десятков, а не разряда десятых. Очень важно не перепутать эти разряды. Разряд десятков располагается в целой части, а разряд десятых в дробной.

Мы должны округлить 123,456 до разряда десятков. Сохраняемая цифра здесь это 2, а первая из отбрасываемых цифр это 3

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. А что делать с дробной частью? Её просто отбрасывают (убирают):

Теперь попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда единиц. Сохраняемая цифра здесь будет 3, а первая из отбрасываемых цифр это 4, которая находится в дробной части:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. Оставшаяся дробная часть будет отброшена:

Ноль, который остался после запятой тоже можно отбросить. Значит окончательный ответ будет выглядеть следующим образом:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Теперь займёмся округлением дробных частей. Для округления дробных частей справедливы те же правила, что и для округления целых частей. Попробуем округлить дробь 123,456 до разряда десятых. В разряде десятых располагается цифра 4, значит она является сохраняемой цифрой, а первая отбрасываемая цифра это 5, которая находится в разряде сотых:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 4 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

Попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда сотых. Сохраняемая цифра здесь это 5, а первая из отбрасываемых цифр это 6, которая находится в разряде тысячных:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 5 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

5.5.7. Округление чисел

Чтобы округлить число до какого-либо разряда – подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой – отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения . Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.

Примеры.

Округлить до целых:

1) 12,5; 2) 28,49; 3) 0,672; 4) 547,96; 5) 3,71.

Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде единиц (целых) и смотрим на цифру, стоящую за ней. Если это цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения, а все цифры после нее отбрасываем. Если же за подчеркнутой цифрой стоит цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на единицу.

1) 1 2 ,5≈13;

2) 2 8 ,49≈28;

3) 0 ,672≈1;

4) 54 7 ,96≈548;

5) 3 ,71≈4.

Округлить до десятых:

6) 0, 246; 7) 41,253; 8 ) 3,81; 9) 123,4567; 10) 18,962.

Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде десятых, а затем поступаем согласно правилу: все стоящие после подчеркнутой цифры отбросим. Если за подчеркнутой цифрой была цифра 0 или 1 или 2 или 3 или 4, то подчеркнутую цифру не изменяем. Если за подчеркнутой цифрой шла цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на 1.

6) 0, 2 46≈0,2;

7) 41, 2 53≈41,3;

8 ) 3, 8 1≈3,8;

9) 123, 4 567≈123,5;

10) 18, 9 62≈19,0. За девяткой стоит шестерка, поэтому, девятку увеличиваем на 1. (9+1=10) нуль пишем, 1 переходит в следующий разряд и будет 19. Просто 19 мы в ответе записать не можем, так как должно быть понятно, что мы округляли до десятых — цифра в разряде десятых должна быть. Поэтому, ответ: 19,0.

Округлить до сотых:

11) 2, 045; 12) 32,093; 13) 0, 7689; 14) 543, 008; 15) 67, 382.

Решение. Подчеркиваем цифру в разряде сотых и, в зависимости от того, какая цифра стоит после подчеркнутой, оставляем подчеркнутую цифру без изменения (если за ней 0, 1, 2, 3 или 4) или увеличиваем подчеркнутую цифру на 1 (если за ней стоит 5, 6, 7, 8 или 9).

11) 2, 0 4 5≈2,05;

12) 32,0 9 3≈32,09;

13) 0, 7 6 89≈0,77;

14) 543, 0 0 8≈543,01;

15) 67, 3 8 2≈67,38.

Важно: в ответе последней должна стоять цифра в том разряде, до которого вы округляли.

Правила математического округления цифр

Округление чисел. Неужели ТАК правильно.

Вчера услышал от преподавателя курсов Бух. учета следующее правило округления:
1. 15.746 -> 17.7
2. 15.764 -> 17.8
3. 17.752 -> 17.8
4. 17.252 -> 17.2
5. 17.052 -> 17.0

Было выдано утверждение — Если за последней значащей цифрой стоит 5, то последнюю цифру увеличивают, если она нечетная и уменьшют, если четная.

Первый раз слышу о таком? Четная цифра, нечетная. Неужели я когда-то прогулял какую-то лекцию по вычислительной математике? Мы там много разных округлений изучали, но чтобы такого.
Да и в школе не было такого!

Неужели такое приавло действительно существует.

ты окончательно упал в моих глазах
;))))))

Это так называемое «бухгалтерское» округление. Имеет место быть.

4. 17.252 -> 17.2
Это не верно, но всегда можно ввести в рамки закона
Эти правило действуют когда лежит ровно посредине, наприме
3. 17.750 -> 17.8
4. 17.250 -> 17.2


> Эти правило действуют когда лежит ровно посредине, наприме
>

Но в курсе вышки, выч. мата и около математических науках такого утверждения я не встречал. Я закончил спец. программное обеспечение выч. техники и на малое количество часов математики мы пожаловаться не могли. Я твердо был уверен, что если за последней значащей цифрой стоит 5, то округляется в большую сторону. Даже если ровно посередине (17,250000).
Я не прав?


> Это так называемое «бухгалтерское» округление. Имеет место
> быть.

Это шутка, или серьезно? Если серьезно, то это должно быть прописано в каком-то нормативном документе. В каком?

>>Это шутка, или серьезно?
Вполне серьезно. То, к чему мы с тобой привыкли — обычное математическое округление. А в бухгалтерских расчетах применяется то, о чем ты пишешь. И в программах соответствующих. А насчет нормативных документов не знаю, я ж не «букгактер».

Calm © (13.08.03 10:47) [4]
В какой то мере прав, существует много методов округления, нормативные документы есть, много, разные. Это внутреннее дело. Сейчас в основном применяют так называемое «банковское» округление, поскольу оно дает меньшую погрешность на массиве чисел.

> Неужели такое приавло действительно существует.
а ты попробуй в дельфях округлить там такое и получиш

RoundTo uses “Banker’s Rounding” to determine how to round values .

The following examples illustrate the use of RoundTo:
Expression Value
RoundTo(1234567, 3) 1234000
RoundTo(1.234, -2) 1.23
RoundTo(1.235, -2) 1.24
RoundTo(1.245, -2) 1.24


> Это так называемое «бухгалтерское» округление.

Есть, стопудово.
Не знаю точной подоплеки, но, возможно, при частой работе такого округления при больших посчетах округления вверх-вниз компенсируют друг друга (их будет примерно поровну) и получается золотая середина 🙂


> Это внутреннее дело

Внутренее дело кого? Организации или отрасли?

Если я в своей организации буду применять одно округление, а налоговая другое, то на массиве чисел будет разногласие. Небольшое разногласие, но формально с точки зрения налоговой я окажусь не прав? Штрафы, пеня.

Подобное округление принято в бухучете. Соотв., налоговая тоже применяет это округление, так что всё должно сойтись, по крайней мере на бумаге :))

Ох-хо-хо. Ещё раз.
Предположим, что распределение чисел у нас близко к равномерному случайному. Тогда при «арифметическом» округлении имеем:

Цифра Погрешность
0 0
1 -1
2 -2
3 -3
4 -4
5 +5
6 +4
7 +3
8 +2
9 +1

Как легко заметить, если имеется большой массив чисел, которые потом понадобится суммировать (итого для позиций документа, сальдо по счёту и т.п.), то при «арифметическом» округлении будет накапливаться систематическая погрешность с матожиданием
0.5*10^n * 0.1 * N
где:
n — десятичный вес разряда, до которого производится округление (до двух знаков n=-2, до целых n=0 и т.д.)
0.1 — вероятность каждой цифры
N — число суммируемых чисел в массиве

Для того, чтобы выровнять вероятности погрешностей надо скомпенсировать единственную нескомпенсированную (см. таблицу выше) погрешность +5. Для этого она искусственно разбивается на две равновероятные +5 -5 в зависимости от чётности предыдущей цифры.

Кстати, в слове состояния FPU есть флажок, контролирующий режим округления (арифметический/бухгалтерский).

Calm © (13.08.03 10:54) [9]
Внутреннее дело двух сторон, они должны действовать по едниным правилам, по каким не важно

При арифметических вычислениях дело не заканчивается тем разрядом, который мы округляем. При равномерном случайном распределении за цифрой 0 идет в среднем 0.5. Поэтому:

Если мы это все просуммируем, то получим как раз 0.

На самом деле такое окгугление правильнее, если потом придётся суммировать резльтаты окргуления, если действовать общепринятым способом (округлять в большую сторону если последняя цифра 5) даст большую погрешность в сумме чисел. Для минимизации погрешности суммы и применяется такое вот округление. Оно используется не только в бухгалтерских расчётах, но и напрмер в геодезических при обработке результатов инструментальной съёмки.

>Dimka Maslov © (13.08.03 12:14) [15]

Как это может быть? Отрезок от 0 до 5-d в точности равен отрезку от 5 до 10-d, где d определяется разрядностью машины. Сдается мне, что рассматриваемый хитрый алгоритм — предрассудок бухгалтеров-троечников.

>uw
Вероятность того, что перед пятёркой окажется чётное или нечётное число примерно одинаковая. Если же всё время округлять в большую сторону, набегающая погрешность будет только увеличиваться, а при таком подходе, погешность будет то складываться, то вычитаться, что в итоге должно её минимизировать. А если это не делать, то это черевать либо финансовыми потерями, либо невозможностью нормальной эксплуатации или вообще обрушением строящегося сооружения. А рассматриваемы хитрый аглоритм это не предрассудок бухгалтеров троечников, а методика, предложенная для статистических рассчётов самим Гауссом (если тебе это имя о чём-то говорит)

>Dimka Maslov © (13.08.03 12:36) [17]

Ты меня Гауссом не пугай. Ты мне пальцем покажи, где ошибка в посте uw © (13.08.03 12:11) [14], и я скажу тебе спасибо.

>uw
ты рассуждаешь как математик. а у бухгалтеров все числа имеют конечное число знаков. если отбрасывается 1 цифра, то DS дал тебе табличку. если отбрасывается 2 цифры, то погрешность получается ближе к твоей, но все же не 0.5, а 0.45 = (сумма от 0 до 9)/10. поэтому при суммировании будет средняя погрешность будет ненулевой. чем больше знаков было в исходных числах, тем меньше эта погрешность, но никогда не ноль. бухгалтерское правило делает ее нулем при любом количестве отбрасываемых цифр.

>nikkie © (13.08.03 12:41) [19]

Я не понимаю, от чего отбрасывается. Предположим, мы взвесили колбасу, посчитали, получили 32.1234567. руб. Округляем. Вместо истинного значения с периодом получаем 32.12 руб. И что?

. — не получается никак.
цена колбасы — 2 знака после запятой.
весы — 4 знака после запятой.
итого — 6, округляем до 2-х.
сделай оценку погрешнсти в такой ситуации.

сорри, весы — 3 знака. итого — 5.

>Dimka Maslov © (13.08.03 12:36) [17]
>Если же всё время округлять в большую сторону, набегающая погрешность будет только увеличиваться.

Школьный алгоритм округления не все время округляет в большую сторону. Цифры 0,1,2,3,4 он округляет в меньшую сторону, а цифры 5,6,7,8,9 — в большую. И тех, и других ровно по пять. Если у Гаусса другие соображения, покажи мне их, я не нашел в Интернете.

>uw
Пример:
1.245 + 1.115 = 2.36

Округляем до двух знаков в большую сторону, поскольку последняя цифра 5 получаем:
1.25 + 1.12 = 2.3 7 (имеем погрешность при суммировании)

А теперь округляем по Гауссу:
1.24 + 1.12 = 2.36 (погрешности нет)

1.244 + 1.245 = 2.489 = 2.49

По-школьному:
1.24 + 1.25 = 2.49


Цифры 0,1,2,3,4 он округляет в меньшую сторону, а цифры 5,6,7,8,9 — в большую

Цифра 0 вообще никуда не округляется.

Решите примерчик
1.25 + 1.35 + 1.45 + 1.55 = ?

а) точно
б) округляя каждое слагаемое до #.# арифметически
б) округляя каждое слагаемое до #.# по-бухгалтерски

Сравните ответы и сделайте вывод.

DiamondShark © (13.08.03 14:57) [26]
влево 4, вправо 5, а распределение нормально

>DiamondShark © (13.08.03 14:57) [26]

Округляем 0 в меньшую сторону, почитай uw © (13.08.03 12:11) [14].

Контрпримерчик я уже приводил (uw © (13.08.03 13:18) [25] ).

Но я еще и помоделировал и увидел, что по-школьному ничуть не хуже:

procedure Test;
var
a, b: Double;
s1, s2: Double;
i: Integer;
begin
s1 := 0; s2 := 0;
Randomize;
a := RoundTo(1.235, -2);
a := RoundTo(1.245, -2);
a := RoundTo(1.255, -2);
a := RoundTo(1.265, -2);
for i := 1 to 1000 do begin
a := Random(10000) / 1000;
b := Random(10000) / 1000;
s1 := s1 + Round((a + b) * 1000) / 1000 —
(Round(a * 100) / 100 + Round(b * 100) / 100);
s2 := s2 + Round((a + b) * 1000) / 1000 — (RoundTo(a, -2) + RoundTo(b, -2));
end;
end;

>uw
похоже еще один самолет 😉 но с математикой я думаю проще будет разобраться.

давай для простоты рассмотрим арифметическое округление десятичного числа с n знаками после запятой до целого. берем ну очень равномерное распределение распределение, все числа от 0 до 0,99..99:
0,00. 00
0,00. 01
0,00. 02
0,00. 03
.
0,49. 99 — округляются до 0
0,50. 00
0,50. 01
.
0,99. 99 — округляются до 1

легко видеть, что средняя ошибка округления 5 * 10^(-n)


> uw © (13.08.03 15:29) [28]

Зачем быть таким упёртым?


> Округляем 0 в меньшую сторону, почитай uw © (13.08.03
> 12:11) [14].

1.20 округляем до одного знака, сколько получим?


> Но я еще и помоделировал и увидел, что по-школьному ничуть
> не хуже:

Ерунду вы намоделировали.

var
Table: array[word] of double;
i: integer;
S, S1, S2: extended;
begin
randomize;
S := 0;
for i := low(Table) to high(Table) do
begin
Table[i] := Random * 10;
S := S + Table[i]; // это будет точная сумма
end;

Set8087CW($1372); // включаем «бухгалтерское» округление
S1 := 0;
for i := low(Table) to high(Table) do
S1 := S1 + Round(Table[i]);

Set8087CW($1B72); // включаем «школьное» округление
S2 := 0;
for i := low(Table) to high(Table) do
S2 := S2 + Round(Table[i]);

writeln(S:20:0, S1:20:0, S2:20:0);
if S2

Запускаем, наслаждаемся набежавшей погрешностью.
Можете тело программы заключить в бесконечный цикл, ответ сюда пишите не раньше, чем заработаете $1000.

>nikkie © (13.08.03 17:22) [29]

Не очень понял, к чему ты это привел, но это уже и неважно. На самом деле, я твою мысль понял уже после разговора о колбасе. Да и мой контрпример Dimka Maslov © указывал на то, что не все симметрично. Но, с другой стороны, я был убежден в симметричности Round. С DS разговаривать трудно: ты ему говоришь, что округление числа 1.209999 до первого десятичного знака происходит в меньшую сторону, а он делает вид, что округления бывают только с последними цифрами и приводит пример 1.20 и обзывает тебя упертым ослом. Но выяснилось, что и с ним можно разговаривать, если привести пример, все равно какой. После его примера я с изумлением обнаружил, что и Round по умолчанию тоже использует «банковский» алгоритм, и я пришел к внутреннему согласию. Так что, все методы хороши – и твой, мягкий, и буйно агрессивный метод DS. Единственный метод, который здесь ни к чему не приводит – это метод ссылки на имя Остроградского или даже Гаусса: они ничего не знали про реализацию Round.

>uw
>На самом деле, я твою мысль понял уже после разговора о колбасе.
дык, если б ты об этом сказал, я бы и не встревал. 😉

Представим число X в виде
X = A + a*10^(n+1) + b*10^n + R, где:
A >= 10^(n+1)
a, b in <0..9>
R =5

Погрешность
d = X — X» = (A + a*10^(n+1) + b*10^n + R) — (A + a»*10^(n+1)) = (a-a»)*10^(n+1) + b*10^n + R
d = b*10^n + R при b = 5

Возможные диапазоны погрешностей:
b диапазон
——————————
0 [0; 10^(n-1)]
1 (10^(n-1); 10^n]
2 (10^n; 2*10^n)
3 (2*10^n; 3*10^n]
4 (3*10^n; 4*10^n]
5 [-5*10^n; -4*10^n)
6 [-4*10^n; -3*10^n)
7 [-3*10^n; -2*10^n)
8 [-2^10^n; -10^n)
9 [-10^n; 0)

У кого-то ещё остались какие-то вопросы?

Специально для uw
Вопрос с округлением нуля, полагаю, решён? Диапазон погрешностей округленя девятки, как легко видеть, перекравает диапазон округления нуля и единицы. А диапазон пятёрки остаётся единственным не имеющим симметричного диапазона другого знака.
Со мной трудно разговаривать с позиций «я был глубоко убеждён», но чрезвычайно легко, как вы верно заметили, говорить доказательно.

ЗЫ
Номер сообщения, где употредляется слово «осёл», надеюсь, не составит труда указать?

>DiamondShark © (14.08.03 13:03) [33]
>Номер сообщения, где употредляется слово «осёл», надеюсь, не составит труда указать?

DiamondShark © (14.08.03 13:03) [33] 🙂

Удалено модератором
Примечание: Личная переписка

>DiamondShark © (14.08.03 13:03) [33]

Объясни мне только одно: почему

Возможные диапазоны погрешностей:
b диапазон
——————————
0 [0; 10^(n-1)]

если d = b*10^n + R при b

>Объясни мне только одно: почему
а это чтобы ответ какой надо получить 🙂
если делать по правде, то получится
b диапазон
——————————
0 [0; 10^n)
1 [10^n; 2*10^n)
2 [2*10^n; 3*10^n)
3 [3*10^n; 4*10^n)
4 [4*10^n; 5*10^n)
5 [-5*10^n; -4*10^n)
6 [-4*10^n; -3*10^n)
7 [-3*10^n; -2*10^n)
8 [-2^10^n; -10^n)
9 [-10^n; 0)
в среднем 0. и останутся еще вопросы. :))

>nikkie © (14.08.03 16:10) [37]

Я побоялся так конкретно (:


> uw © (14.08.03 16:04) [36]

Ай, как нехорошо получилось.
0 [0; 10^n)
1 [10^n; 2*10^n)
2 [210^n; 3*10^n)
3 [3*10^n; 4*10^n]
4 [4*10^n; 5*10^n]

Хуманум эраре эст. Но это уже не важно.
Елки-палки. Вы мне совсем мозги запудрили.

round(2.5) = 2
round(2.500000000000000001) = 3

«Бухгалтерское» правило применяется не просто если b=5 (в ранее введённых обозначениях), а ещё если R=0. А для случая R=0 диапазоны погрешностей вырождаются в числа, я уже эту табличку приводил:
b d
———————
0 +0
1 +1*10^n
2 +2*10^n
3 +3*10^n
4 +4*10^n
5 -5*10^n
6 -4*10^n
7 -3*10^n
8 -2*10^n
9 -1*10^n

>DiamondShark © (14.08.03 16:52) [39]

Все ОК. Теперь мне можно идти в булгахтеры. но в маленькие 🙂

Еще по теме:

  • Приказ минкультуры 1215 ПРИКАЗ Минкультуры России (Министерство культуры РФ) от 11 июля 2014 г. №1215 "ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПОРЯДКА КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ ТУРИСТСКОЙ ИНДУСТРИИ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ГОСТИНИЦЫ И ИНЫЕ СРЕДСТВА РАЗМЕЩЕНИЯ, ГОРНОЛЫЖНЫЕ ТРАССЫ И ПЛЯЖИ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМОЙ АККРЕДИТОВАННЫМИ ОРГАНИЗАЦИЯМИ" В соответствии со […]
  • Правила саймона на jail сервере Правила саймона на jail сервере 1. Использовать любые Скрипты/читы и прочее. [Бан на 1 Неделю/Навсегда] 2. Использовать баги игры,карт. [Бан на 30 мин/1 день] 3. Использовать программы, меняющие голос/воспроизводящие посторонние звуки. [Бан на 30 мин/3 часа] 4. Использовать ники […]
  • Закона от 10071992 3266-1 об образовании Закона от 10071992 3266-1 об образовании Закона РФ от 10.07.1992 № 3266-1 «Об образовании» и Федерального закона от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в Принятый в 1992 году базовый законодательный акт системы образования - Закон Российской Федерации "Об образовании" - в настоящее время […]
  • Первый закон об инвалидах Федеральный закон от 24 ноября 1995 г. N 181-ФЗ "О социальной защите инвалидов в Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 24 ноября 1995 г. N 181-ФЗ"О социальной защите инвалидов в Российской Федерации" С изменениями и дополнениями от: 24 июля 1998 г., 4 […]
  • Налоги 1 краснодар Адреса ИФНС, ФСС, ПФР Инспекция ФНС России № 1 по г. Краснодару Инспекция ФНС России № 2 по г. Краснодару Инспекция ФНС России № 3 по г. Краснодару Cпособ проезда: Проезд трамваями №4, 5, 6, 7, 8, 20; троллейбусами 7, 12, 20 - до остановки «ул.Павлова». Инспекция ФНС России № 4 по […]
  • Правило jail сервера Обсуждения ★★★Правила jail сервера ★★ (upd 24.12.17) 6 сообщений Обязательные правила для всех: 1. Не флудить во время игры. – [kick, бан от 30мин до 1 дня.]2. Запрещено злоупотреблять матом. - [kick, бан 5-30 мин]3. Не оскорблять других игроков и администрацию . – [kick, бан от 30 мин, […]
  • Санитарных правил для холодильников 4695-88 СП 4695-88. Санитарные правила для холодильников 1. Общие положения 2. Требования к территории 3. Планировка и устройство производственных помещений 4. Требования к водоснабжению и канализации 5. Требования к освещению, отоплению, вентиляции и холодоснабжению 6. Требования к холодильным […]
  • Трудный вопрос для юриста Вопросы для юристов Уважаемые коллеги! Подскажите, пожалуйста, какие-нибудь интересные или каверзные вопросы для соискателей на позицию юриста. Вопрос 1. По обеспечению иска допускается: а) наложение ареста на имущество или денежные средства; б) запрещение ответчику совершать […]