Закон больших чисел в форме чебышева

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

2. Закон больших чисел Чебышева.

Имеет место следующее утверждение. Пусть — последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. для любого i. Тогда, каково бы нибыло , справедливо соотношение

Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.
Частный случай закона больших чисел Чебышева. Пусть — последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. и одинаковые математические ожидания . Тогда, каково бы нибыло , справедливо соотношение

Это непосредственно следует из формулы (54), так как

Замечание. Говорят, что случайная величина сходится по вероятности к числу А, если при сколь угодно малом вероятность неравенства с увеличением n неограниченно приближается к единице. Сходимость по вероятности не означает, что . Действительно, в последнем случае неравенство выполняется для всех достаточно больших значений n. В случае же сходимости по вероятности это неравенство для отдельных сколь угодно больших значений n может не выполняться. Однако невыполнение неравенства для больших значений n есть событие очень редкое (маловероятное). Принимая это во внимание, частный случай закона больших чисел Чебышева можно сформулировать так.
Средняя арифметическая попарно независимых случайных величин , имеющих ограниченные в совокупности дисперсии и одинаковые математические ожидания , сходится по вероятности к а.
Поясним смысл частного случая закона больших чисел Чебышева. Пусть требуется найти истинное значение а некоторой физической величины (например, размер некоторой детали). Для этого будем производить ряд независимых друг от друга измерений. Всякое измерение сопровождается некоторой погрешностью (см. подробнее § 6, п. 1). Поэтому каждый возможный результат измерения есть случайная величина (индекс i — номер измерения). Предположим, что в каждом измерении нет систематической ошибки, т. е. отклонения от истинного значения а измеряемой величины в ту и другую стороны равновероятны. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны измеряемой величине а, т. е.
Предположим, наконец, что измерения производятся с некоторой гарантированной точностью. Это значит, что для всех измерений . Таким образом, мы находимся в условиях закона больших чисел Чебышева, а потому, если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было , средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения а меньше, чем на

Закон больших чисел Чебышева.

ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем.

В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.

Частный случай закона больших чисел Чебышева можно сформулировать так.

Средняя арифметическая попарно независимых случайных величин , имеющих ограниченные в совокупности дисперсии и одинаковые математические ожидания , сходится по вероятности к а.

То есть, если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было , средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения аменьше, чем на .

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е.

иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А).

1. Леммы Чебышева.

2. Закон больших чисел Чебышева.

3. Частный случай закона больших чисел Чебышева.

4. Закон больших чисел Бернулли.

1. Леммы Чебышева.

В этом пункте докажем следующие две леммы, принадлежащие Чебышеву.

Лемма 1. Пусть — случайная величина, принимающая только неотрицательные значения; тогда

Доказательство:Для простоты докажем это утверждение для дискретной случайной величины , принимающей значения x1, x2, . xn, при условии . По аксиоме сложения вероятностей имеем

где суммирование распространено на все значения xi, большие или равные единице. Но для , очевидно,

(50)

Последняя сумма распространена на все значения xi, принимаемые случайной ветчиной . Но эта сумма по определению равна математическому ожиданию:

Сопоставляя соотношения (50) и (51), имеем

Тем самым лемма доказана.

Лемма 2. Пусть — случайная величина, а — положительное число. Тогда вероятность того, что модуль отклонения случайной величины от ее математического ожидания окажется меньше, чем , больше или равна разности

(52)

Неравенство (52) называется неравенством Чебышева.

Доказательство: Рассмотрим сначала неравенство . Так как оно равносильно неравенству то

Случайная величина неотрицательна и, значит, удовлетворяет условиям первой леммы Чебышева. Следовательно,

так как .

(53)

Так как событие, выражаемое неравенством , противоположно событию, выражаемому неравенством , то

Принимая во внимание соотношение (53), окончательно получим

Закон больших чисел Чебышева.

Имеет место следующее утверждение.

Пусть — последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. для любого i. Тогда, каково бы ни было , справедливо соотношение

(54)

Доказательство: Обозначим через величину , т.е. среднюю арифметическую n случайных величин. Случайная величина имеет математическое ожидание

(здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии). Применяя к случайной величине вторую лемму Чебышева, найдем, что

так как при любом i и, следовательно,

Учитывая, что вероятность любого события не превосходит единицы, получим

Переходя к пределу при , имеем

Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем.

В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.

Дата добавления: 2017-02-13 ; просмотров: 620 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

25. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений, случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются.

Для доказательства закона больших чисел нам потребуется

Лемма (неравенство Чебышева). Если существует M(X2), то для произвольного T > 0

В частности, если существует M(X), то

Доказательство. Пусть X – дискретная случайная величина.

Где – значения случайной величины X.

Если X –непрерывная случайная величина с плотностью распределения F(X), то

Поделив эти неравенства на T2, получим первое утверждение леммы.

Если первое неравенство леммы применить к случайной величине XMX, то получится второе неравенство. §

Теорема 2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Пусть — последовательность взаимно-независимых одинаково распределенных случайных величин. Если M = M(Xk) и существуют, то для любого e > 0 при

Иначе говоря, вероятность того, что среднее случайных величин X1, X2,…., Xn будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное e, cтремится к 1.

Доказательство. Т. к. X1, X2,…, Xn – взаимно-независимы,

Применим неравенство Чебышева к среднему

При правая часть стремится к 0, что и доказывает теорему. §

Замечание. C помощью неравенства Чебышева также легко доказать, что если задана бесконечная последовательность случайных величин
X1, X2,…, Xn,…(Xi и Xj независимы для любых I и J), то для любого e > 0 при

(теорема Маркова) .

Пример 4. Петербургская игра.

Игрок платит взнос А рублей за участие в одной партии, состоящей из M подбрасываний монеты. Если первый раз герб выпадет при R-ом подбрасывании, R = 1, 2,…, M, игрок получает за партию 2R рублей. Если M раз выпадает решка, игрок ничего не получает. При каком взносе А игру можно считать «неблагоприятной» для игорного заведения?

Пусть Xk – выигрыш в K-ой партии, K=1, 2,… .

Cредний выигрыш в K-ой партии и дисперсия выигрыша в K-ой партии конечна.

Выигрыш от участия в N партиях составит , а взнос за N партий – N*M рублей.

Согласно теореме 2,

т. е.

То есть почти всегда прибыль организаторов игры при взносе А=M мало отличается от нуля (в ту и другую сторону), если число сыгранных партий N велико.

Этот результат не зависит от того, постоянно число подбрасываний M в каждой партии или может меняться по желанию игроков. Согласно замечанию к теореме 2, при возрастании N суммарный выигрыш в N партиях стремится по вероятности к суммарному взносу за N партий, если взнос за K-ую партию равен числу подбрасываний монеты.¨

Таким образом, закон больших чисел позволяет в большинстве случаев расценивать математическое ожидание случайной величины, как среднее наблюдаемых значений случайной величины при большом числе реализаций.

Практический подход к вероятности случайного события обуславливает следствие из закона больших чисел

Теорема 3. Теорема Бернулли.

Частота наступления события А в серии из N независимых одинаковых испытаний (K/N) сходится по вероятности к вероятности события А в каждом испытании (Р) при

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в I-том испытании.

Тогда число наступлений события А в N опытах

И частота наступления события А

Согласно теореме 2,

§

Замечание. Если вероятности наступления события А в серии из N испытаний меняются от опыта к опыту и равняются Pi, I = 1, 2. N, то при частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей Pi . Это сразу следует из замечания к теореме 2.

Пример 5. ПОявление пары (7,7) среди 100 пар случайных цифр должно подчиняться биномиальному распределению с N=100 и P=0,01. Еcли рассмотреть 100 групп по 100 пар, то Nk – число групп, в которых комбинация (7,7) встречается ровно K раз. Полученные частоты Nk/100 хорошо согласуются с теоретическими вероятностями, хотя число рассматриваемых групп 100 не является очень большим.

Закон больших чисел в форме Чебышева

Если явление устойчивости средних имеет место в действительности, то в математической модели, с помощью которой мы изучаем случайные явления, должна существовать отражающая этот факт теорема.
В условиях этой теоремы введем ограничения на случайные величины X1, X2, …, Xn:

а) каждая случайная величина Хi имеет математическое ожидание

б) дисперсия каждой случайной величины конечна или, можно сказать, что дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом, например С, т. е.

Смысл выражения «средняя арифметическая = сходится по вероятности к a» состоит в том, что вероятность того, что будет сколь угодно мало отличаться от a, неограниченно приближается к 1 с ростом числа n.

Доказательство. Для конечного числа n независимых испытаний применим неравенство Чебышева для случайной величины = :

Р(|– M()| 0и n ® ¥, то получим

= 1,

что и доказывает теорему Чебышева.

Из рассмотренной теоремы вытекает важный практический вывод: неизвестное нам значение математического ожидания случайной величины мы вправе заменить средним арифметическим значением, полученным по достаточно большому числу опытов. При этом, чем больше опытов для вычисления, тем с большей вероятностью (надежностью) можно ожидать, что связанная с этой заменой ошибка ( – а)не превзойдет заданную величину ε.

Кроме того, можно решать другие практические задачи. Например, по значениям вероятности (надежности) Р = Р(|а| 2 = = = 0,25.

Следовательно, ε = 0,5.

Ответ: максимальная величина ошибки ε = 0,5.

4.2. Закон больших чисел в форме Бернулли [4]

Хотя в основе любого статистического вывода лежит понятие вероятности, мы лишь в немногих случаях можем определить вероятность события непосредственно. Иногда эту вероятность можно установить из соображений симметрии, равной возможности и т.п., но универсального метода, который позволял бы для произвольного события указать его вероятность, не существует. Теорема Бернулли дает возможность приближенной оценки вероятности, если для интересующего нас события А можно проводить повторные независимые испытания. Пусть произведено п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А постоянна и равна р.

Теорема Бернулли. При неограниченном возрастании числа независимых испытаний п относительная частота появления события А сходится по вероятности к вероятности p появления события А,т. е.

Pp ½≤ ε) = 1, (4.2.1)

где ε – сколь угодно малое положительное число.

Для конечного n при условии, что , неравенство Чебышева для случайной величины будет иметь вид:

P(| – p| 2 = 1 2 ∙p + 0 2 ∙qp 2 = p – p 2 = = p(1 – p) = pq.

M(Yn) = = p; D(Yn) = ® 0.

Следовательно, выполняются условия теоремы Чебышева, т. е. Pp ½≤ ε) = 1, что и требовалось доказать.

Из теоремы Бернулли следует, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота появления события практически утрачивает свой случайный характер, приближаясь к постоянной величине p – вероятности данного события. В этом и состоит принцип практической уверенности.

Пример 4.2.1. С целью установления доли брака продукции было проверено по схеме возвратной выборки 1000 единиц. Какова вероятность того, что установленная этой выборкой доля брака по абсолютной величине будет отличаться от доли брака по всей партии не более чем на 0,01, если известно, что в среднем на каждые 10000 изделий приходится 500 бракованных?

Решение.По условию задачи число независимых испытаний n = 1000;

p = = 0,05; q = 1 – p = 0,95; ε = 0,01.

Применяя формулу (4.2.2), получим

P(| p|

Закон больших чисел в форме чебышева

Часть 1. Фундамент прикладной статистики

1.4.1. Законы больших чисел

Законы больших чисел позволяют описать поведение сумм случайных величин. Примером является следующий результат, обобщающий полученный ранее в подразделе 1.2.2. Там было доказано следующее утверждение.

Теорема Чебышёва. Пусть случайные величины Х1, Х2,…, Хk попарно независимы и существует число С такое, что D(Xi) 0,

(3)

С точки зрения прикладной статистики ограниченность дисперсий вполне естественна. Она вытекает, например, из ограниченности диапазона изменения практически всех величин, используемых при реальных расчетах.

В 1923 г. А.Я. Хинчин показал, что если случайные величины не только независимы, но и одинаково распределены, то существование у них математического ожидания является необходимым и достаточным условием для применимости закона больших чисел [2, с.150].

Теорема [2, с.150-151]. Для того чтобы для последовательности Х1, Х2,…, Хk ,…(как угодно зависимых) случайных величин при любом положительном ε выполнялось соотношение (3), необходимо и достаточно, чтобы при n → ∞

Законы больших чисел для случайных величин служат основой для аналогичных утверждений для случайных элементов в пространствах более сложной природы. В частности, в пространствах произвольной природы (см. подраздел 2.1.5 далее). Однако здесь мы ограничимся классическими формулировками, служащими основой для современной прикладной статистики.

Смысл классических законов больших чисел состоит в том, что выборочное среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных величин приближается (сходится ) к математическому ожиданию этих величин. Другими словами, выборочные средние сходятся к теоретическому среднему.

Это утверждение справедливо и для других видов средних. Например, выборочная медиана сходится к теоретической медиане. Это утверждение – тоже закон больших чисел, но не классический.

Существенным продвижением в теории вероятностей во второй половине ХХ в. явилось введение средних величин в пространствах произвольной природы и получение для них законов больших чисел, т.е. утверждений, состоящих в том, что эмпирические (т.е. выборочные )средние сходятся к теоретическим средним. Эти результаты будут рассмотрены в подразделе 2.1.5 ниже.

Еще по теме:

  • Заявление правильность написания Письмовник Деловое письмо Этот вид документов состоит из следующих реквизитов: Схема расположения реквизитов заявления: Прошу принять меня на должность начальника бюро корреспонденции. В 1979 году я окончила Московский государственный историко-архивный институт. До октября 1991 г. […]
  • Транспортный налог карелия Транспортный налог карелия Изменения ОСАГО. Приоритетной формой возмещения ущерба теперь будет восстановительный ремонт на станции технического обслуживания. Подробнее Плата налога и авансовых платежей по налогу производится налогоплательщиками в бюджет по месту нахождения транспортных […]
  • Как узнать штрафы гибдд по фамилии по кбр Штрафы гибдд проверить онлайн 11.09.2014 | автор: EMEO | Уфмс якутск штраф | Просмотров: 194 Быстрая загрузка: Штрафы гибдд проверить онлайн Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь. Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо зайти на сайт под своим […]
  • Проверить штрафы гибдд по курской области Посмотреть штрафы гибдд курск 22.04.2014 | автор: T�x��_�o��� | Гаи пдд | Просмотров: 206 Быстрая загрузка: Посмотреть штрафы гибдд курск Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь. Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо зайти на сайт под своим […]
  • Сайт гибдд штрафы липецк Узнать штрафы гибдд липецк 20.03.2014 | автор: Ayan | Штрафы гибдд мопеды | Просмотров: 262 Быстрая загрузка: Узнать штрафы гибдд липецк Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь. Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо зайти на сайт под своим […]
  • Условия проживания тигра Об амурском тигре Амурский тигр Panthera tigris altaica Отряд: Хищные (Carnivora) Семейство: Кошачьи (Felidae) В 1947 году тигр был взят под охрану — в России охота на него была полностью запрещена. Этот удивительный зверь занесён в Красный список Международного союза охраны природы и […]
  • Санитарные правила для торговли 2018 "САНИТАРНЫЕ ПРАВИЛА ДЛЯ ПРЕДПРИЯТИЙ ПРОДОВОЛЬСТВЕННОЙ ТОРГОВЛИ. САНИТАРНЫЕ ПРАВИЛА И НОРМЫ. СанПиН 2.3.5.021-94" (утв. Постановлением Госкомсанэпиднадзора РФ от 30.12.94 N 14) Утверждено постановлением Госкомсанэпиднадзора РФ от 30 декабря 1994 г. N 14 Настоящие Санитарные нормы и […]
  • Рэй законы успеха Рэй Джэймс А. Законы Успеха Эффективные техники привлечения богатства, здоровья, любви, счастья. Автор: Рэй Джэймс А. Название: Законы Успеха Эффективные техники привлечения богатства, здоровья, любви, счастья. Формат: HTML, DJVU Язык: Русский «Джеймс Рэй дает все инструменты, […]